世间最神秘的三个数字（八）

刘玮

发明国际象棋的达依尔被砍头了，可以说他死在了指数的威力之下。他所要的棋盘上每格麦粒数为一个数列之和：

20 + 21 + 22 + 23 + … + 263

如果2的指数是个变量x，则函数y = 2x就是一个指数函数。底数大于1的指数函数是一个加速增长的函数，达依尔就是因为指数函数的疯狂增长而丢了性命。

自然界事物的增长或变化，一般都基于其原有数量，就好比存在银行的钱，其利息增长的多少，在利率一定条件下取决于存入本金的多少……

皓天：“一个体重100千克的大胖子，一周减肥1千克是很容易的，但一个体重50千克的人一周减1千克就不容易了。”

鹏飞：“可是一个考90分的学生要想考100分是很难的，但一个考50分的人想考到60分还是很容易的。为什么？”

“哈哈！想考我？考90分的学生可提升到满分的分数只有10分，而考50分的学生却有50分的提升空间。”

“思想挺深刻啊！我们先来做个试验。”

鹏飞取来3杯清水，分别标上1、2、3，其中1、2两杯都加1匙盐，3这杯加4匙盐。

“你分别尝一下这3杯水的咸度。”

“不用尝就知道这1、2两杯一样咸，3更咸。”

“现在我在第2杯里再加盐，看看加多少时会感觉它的咸度介于1和3之间。”

皓天思考了一下：“按理应该是加2匙半。”

鹏飞又取来第4杯清水，加了2匙半盐，而在第2杯中加了1匙盐。

“你再尝尝，这两杯哪个咸度介于1和3之间。”

为公平起见，皓天每次尝后都要用清水漱口再尝。

“是第2杯的咸度恰好介于1和3之间！”

鹏飞：“有何感想？”

“看来人的味觉不是按照物质浓度成正比来的，倒像是按照等比规律来的。要想咸度是第3杯的2倍的话，是不是就得加8匙盐？”

不等鹏飞回答，皓天立即动手，在加了2匙半的杯中再加了5匙半盐，一尝，果然感觉像是加入4匙盐后咸度的2倍。

“明明是等比例增长的，可人感觉却是等差增加的。”

“也就是说，人感觉的是指数！”

“是的，2的几次方，人的感觉就是几倍！”

鹏飞打开电脑：“走，我们去看一场感觉测量。”

皓天也立刻戴上电极头盔。电脑把他们带到1825年，德国生理学家恩斯特·海因里希·韦伯主持的一个测试现场。

只见参与测试的5个人都被蒙上了双眼，同时手提不同的重物。

“现在，我们要给你们手提的重物加重。”韦伯提醒着被试者，“请在你们感觉到重量增加的时候告诉我们。”

于是，助手们开始向重物上一点一点小心地添加沙子，当被试者感觉质量增加时即刻停止。

“现在我们来测量各自增加的沙子质量。”韦伯亲自一一测量。

不一会，结果出来了，分别大约是1磅、2磅、3磅、4磅和5磅，对应被试者原来所提的质量分别是10磅、20磅、30磅、40磅和50磅。

韦伯脸上露出不易察觉的兴奋，测试再次验证了他的猜测。

韦伯宣布了他的发现：“人对力的反应s遵循对数定律ds=k 。在这次关于力的测试中，k = 10。”

鹏飞和皓天退出电脑的虚拟幻境。鹏飞：“后来，韦伯的发现被物理学家古斯塔夫·西奥多·费希纳所推广，形成著名的韦伯—费希纳定律：人类的反应s 遵循对数定律s = kln 。”

皓天：“如果改变一下公式的形式，可写成w = w0e ，k是个常数，或写成w = w0eks。也就是说，要使人作出的反应等阶递增，相应的物理刺激必须以一个常数比率递增，或者说以几何级数递增。可是，从韦伯的ds=k 怎么得到 s = kln 呢？”

鹏飞：“韦伯公式中的ds是人感觉的下限阈值，是个小量，dw是增加的物理刺激量，也是个小量，w0是原刺激量，ds=k 就是个微分方程啦。对这个方程积分就得到了韦伯—费希纳定律。”

皓天，“这个定律是说人的任何感觉都是按照对数规律进行的吗？”

鹏飞：“对各种感官的研究表明，它们都是遵循这一规律的。”

“我懂了，人类的感觉既可让人精确地感受到细微的变化，又可在刺激太强烈时变得迟钝些，以保护感觉器官不至受损。可以用‘鬼斧神工来形容人类感觉器官的这种微妙。”皓天说这番话时，禁不住眨眨眼做了个鬼脸。