关于正整数的四次方部分数列的和

关于正整数的四次方部分数列的和*

高丽,赵喜燕

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安 716000)

摘要：利用初等和解析的方法研究了Smarandache提出的数列的求和问题，即研究正整数的四次方部分数列的和，得出2个有趣的求和公式.

关键词：Smarandache问题；四次方部分数列；求和公式

文章编号：1007-2985(2015)01-0005-02

中图分类号：O156．4文献标志码：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.002

收稿日期：*2014-06-20

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11471007)；陕西省科学技术研究发展计划项目(2013JQ1019)；延安大学高水平大学建设项目(2012SXTS07)；延安大学2014年科研计划项目

作者简介：高丽(1966—)，女，陕西绥德人，延安大学数学与计算机科学学院教授，硕士生导师，主要从事数论研究.

Smarandache问题的提出受到了许多数学爱好者的关注,许多专家和学者对Smarandache问题进行了深入研究,并得到了很多重大成果[4-7].

文献中的第41个问题,是有关数列a(n)和b(n)的性质.张少杰研究了a(n)和b(n)的渐近性质.郭金保等研究了正整数的立方数列求和,得出如下结论：

若a(n)表示不超过n的最大立方数,则对任意正整数n,有

若b(n)表示不小于n的最小立方数,则对任意正整数n,有

国债又被称作国家公债，即为国家中央政府以自身信用为基础，按照一般债券的发行原则，面向社会筹集资本而形成一种债券债务关系。国债是政府债券的一种，以政府税收作为到期偿还持有者本息的保证，也是拥有最高信用度、最具公信力、最安全的投资工具。

笔者将利用初等和解析的方法讨论正整数的四次方数列的求和问题.

对任意的正整数n,设a(n)表示不超过n的最大四次方部分,b(n)表示不小于n的最小四次方部分,例如：

a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(4)=1,…，a(16)=16,…；

b(1)=1,b(2)=16,b(3)=16,b(4)=16,…，b(16)=16,b(17)=81,….

那么，有如下结论成立：

定理1对任意的正整数n,设k是一固定的正整数,且满足k4≤n<(k+1)4,则a(n)=k4,

证明对任意的正整数n,设k是一固定的正整数,且满足k4≤n<(k+1)4,由a(n)的定义可知a(n)=k4(k4≤n<(k+1)4)，则有

(1)

(2)

由(1)，(2)式可知

4(1+27+…+(k-1)7)+6(1+26+…+(k-1)6)+

4(1+25+…+(k-1)5)+(1+24+…+(k-1)4)+

k4(n-k4+1).

(3)

由文献可得：

5(k-1)3-5(k-1)2-2k+4]，

(4)

6(k-1)3-6(k-1)2-k+2]，

(5)

(6)

(7)

所以由(3)—(7)式得

证毕.

定理2对任意的正整数n,设k是一固定的正整数,且满足(k-1)4

证明对任意的正整数n,设k是一固定的正整数,且满足(k-1)4

(8)

(9)

由(8)，(9)式可知

4(1+27+…+(k-1)7)-6(1+26+…+(k-1)6)+

4(1+25+…+(k-1)5)- (1+24+…+

(k-1)4)+k4(n-(k-1)4).

(10)

所以由(10),(4)—(7)式得

证毕.

参考文献：

[1]APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory.New York:Springer-Verlag,1976.

[2]SMARANDACHE F.Sequences of Number Involving in Unsolved Problem.USA：High American Press,2006.

[3]SMARANDACHE F.Only Problems,Not Solutions .Chicago：Xiquan Publishing House,1993.

[4]ZHANG Wenpeng.Research on Smarandache Problems in Number Theory(Collected Papers).USA:High American Press,2004.

[5]ZHANG Wenpeng.Research on Smarandache Problems in Number Theory(Vol.Ⅱ).USA:High American Press,2005.

[6]YI Yuan,KANG Xiaoyu.Research on Smarandache Problems.USA:High American Press,2006.

[7]LIU Huaning,GAO Jing.Research on Smarandache Problems.USA:High American Press,2011.

[8]张少杰．关于正整数的四次方部分数列．价值工程,2011，29:221-222.

[9]郭金宝,郭永平.正整数的立方数数列的求和.延安大学学报：自然科学版,2005，24(4)：3-4.

Part Summation of 4th Sequences of Positive Integer

GAO Li,ZHAO Xiyan

(School of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an 716000,Shaanxi China)

Abstract：We use the elementary methods and analytic methods to study the part summation of 4th sequences of positive integer,and give two interesting summation formula.

Key words:Smarandache problem;4thsequences;summation formula

(责任编辑向阳洁)