倒立摆系统的模糊控制研究

倒立摆系统的模糊控制研究

周群利

(芜湖职业技术学院电气工程学院，安徽芜湖241006)

摘要：当倒立摆的摆角和摆速在一定范围内变化时，分别采用三个模糊集“负、零、正”，对倒立摆系统的数学模型方程进行模糊化，得到7条Sugeno型模糊规则，根据系统参数及摆角和摆速的值，得到对应模糊规则下倒立摆系统的数学模型方程，然后对每个区域选择期望的闭环极点，设计出极点配置状态反馈控制器，对倒立摆系统进行控制，仿真结果力证了此方法的有效性。

关键词：Sugeno模糊模型；倒立摆；模糊控制

作者简介：周群利，硕士，讲师，芜湖职业技术学院。研究方向：非线性系统控制。

文章编号：1672-6758(2015)07-0043-3

中图分类号：TP273`+.4

文献标识码：A

Abstract：When the pendulum swing, the angle and swing speed varies in a certain range. Mathematic mo del of inverted pendulum system is blurred with three fuzzy sets "negative, zero, positive". Seven Sugeno fuzzy rules were got. According to the system parameters, the swing angle and swing speed value, the mathematical model equations of inverted pendulum system were got under the condition of the corresponding fuzzy rules. The expectancy of closed loop poles was selected to each region.

倒立摆系统结构简单、成本低廉、形象直观、构件组成参数和形状易于改变，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆系统是一种典型的复杂被控对象，具有非线性、多变量、强耦合和自然不稳定的特性。在控制过程中倒立摆系统能有效地反映可控性、鲁棒性、随动性以及跟踪性等许多控制中的关键问题。近年来，学者们对倒立摆系统进行了大量的研究工作，取得了许多成果，其控制方法也已经有经典控制理论方法、现代控制理论方法、智能控制理论方法等，模糊控制和神经网络控制是智能控制的重要方面，它们在倒立摆系统的控制上也起到了很大的作用。在此本文采用基于Sugeno模糊模型的方法对倒立摆系统进行模糊控制。

1倒立摆系统的数学模型

倒立摆系统的数学模型为：

(1)

式(1)中x1为摆与垂直线的夹角；x2为摆的摆动角速度；g为重力加速度；m为倒立摆摆杆的质量；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；M为小车质量；倒立摆系统的数学模型中a为与倒立摆质量、小车质量及摆长有关的量，其大小为：a=l/(m+M)。图1为一级倒立摆系统示意图。

图1　一级倒立摆系统示意图

2Sugeno模糊模型

Takagi和Sugeno于1985年曾经提出了一种T-S模糊模型，后来研究者称之为Sugeno模糊模型，它是一种本质非线性模型，宜于表达复杂系统的动态特性。Sugeno模糊模型输出为常量或线性函数，其函数形式为：

y=a或y=ax+b

(2)

取ZR为很小的模糊集，则可得Sugeno型模糊模型规则为：

if x1isZRandx2isZRTHEN

(3)

3基于Sugeno模糊模型的倒立摆模糊控制

当倒立摆系统的摆角和摆速在一定范围变化时，可分别采用三个模糊集“负、零、正”，即“NG、ZR、PO”对倒立摆系统的数学模型进行模糊化，从而实现非线性系统的局部线性化。

式(1)的数学模型中，在(x1，x2)平面上对倒立摆系统的数学模型方程进行模糊分割，分成3×3的栅格，针对x1和x2，分别取NG，ZR，PO三个模糊集合，可得七条Sugeno型模糊规则,规则如下：

当倒立摆系统的摆角和摆速很小时，sin(x1)→x1，cos(x1)→1，则由(1)式所表示的倒立摆系统的数学模型可近似写为

(4)

对倒立摆系统模型进行局部线性化，可得到如下5个线性化方程：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

可见，7条Sugeno型模糊规则可以合并为5条模糊规则。取倒立摆系统的参数为：m=2.5kg,M=9kg,l=0.5m，将该参数值及x1和x2的值分别代入式(5)至式(11)，可得到模糊规则所对应的倒立摆系统数学模型的系统矩阵A及输入矩阵B。

4系统控制仿真

对每个区域选择期望的闭环极点(-15±8i)，采用u=-Fx的反馈控制，利用matlab软件中的极点配置函数place(A,B,P),可以得到5个子系统的反馈增益矩阵：

F1=[-4295.8-422.5]；F2=[-4282.8-422.5]；F3=[-4406.7-433.5]；F4=[-4406.7-432.7]；F5=[-4406.7-434.4]。

设系统初值为：x=[0.350.69]T，仿真结果如下图所示：

图2　摆角及摆速的状态响应

图3　控制输入信号

图4　角度和角速度的隶属函数

从图2可以看出倒立摆系统的状态变量摆角和摆动角

速度大约在0.3s可达到稳定，过渡时间较短且超调量也不大，0.3s后系统的状态变量稳定地收敛于零，由此可知该方法可以实现摆杆的倒立平衡控制，控制效果达到了预定要求。

5结论

采用基于Sugeno模糊模型的倒立摆模糊控制方法，运用多个简单线性系统控制器通过模糊推理得到全局控制器，从而达到控制倒立摆非线性系统的目的，仿真结果证明了该方法的有效性，同时该方法体现了良好的全局控制性能和设计方法的灵活性。

参考文献

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Study of Fuzzy Control of the Inverted-pendulum

Zhou Qunli

(School of Electrical Engineering, Wuhu Vocational College of Technology, Wuhu, Anhui 241006, China)

Then pole assignment state feedback controller was designed to control the inverted pendulum system. The simulation results prove the effectiveness of the proposed method.

Key words：Sugeno fuzzy model; inverted pendulum; fuzzy control

Class No.:TP273+.4Document Mark：A

(责任编辑：郑英玲)