非线性拉伸片上粘性流体MHD流动的数值解

胡　敏

(攀枝花学院数学与计算机学院， 四川　攀枝花　617000)



非线性拉伸片上粘性流体MHD流动的数值解

胡敏

(攀枝花学院数学与计算机学院， 四川攀枝花617000)

[摘要]研究流经非线性拉伸片的粘性磁流体的边界层流动.在前人获得的常微分初边值问题的基础上，利用适当替换将其进一步简化，再利用Galerkin有限元方法将其化成非线性方程组，然后利用Newton迭代法求出此问题的数值解.最后在表格中列出数值结果，并与已知数值结果做比较.比较结果显示：该数值结果与已知数值结果基本吻合.这说明Galerkin有限元方法的可靠性和有效性.

[关键词]MHD流；非线性拉伸片；Galerkin有限元方法；数值解

非线性现象普遍存在于各个科学领域，如等离子物理、固体物理和流体力学，它们都可以用非线性边界层微分方程来求解.流经连续拉伸片材的不可压缩粘性流体的边界层流问题广泛存在于许多工程和工业生产过程中，特别是磁流体边界层流问题，它广泛应用于液态金属的冷却系统、加速器、磁流体发电机和磁流体泵的设计.因此，对磁流体边界层流的研究具有重要的理论意义和实际应用价值.

许多研究者都对该问题进行过研究[1-9].Mukhopadhyay S利用四阶龙格库塔法研究存在滑移的垂直拉伸面上的非定常混合对流边界层流动和热传递[10].Bhattachryya K和Mukhopadhyay S利用打靶法研究流向拉伸表面的牛顿流体的非定常边界层驻点流动和热传导[11].Salem A M和Fathy R利用四阶龙格库塔法和打靶法研究多孔介质中的可渗透拉伸板上不可压缩流体在驻点附近的热量和物质传递[12].Kechil S A和Hashim I利用Adomian分解法研究拉伸板上的非定常边界层流[13].Shahzad A和Ali R以及Khan M利用同伦分析法研究流经非线性径向多孔薄板拉伸面上边界层流的热传递的解析解[14].Butt A S和Ali A研究流经径向拉伸表面的粘性流体，并利用同伦分析法和打靶法获得数值解[15].Eerdunbuhe和Temuerchaolu利用对称李群和同伦摄动相结合的方法研究流经非线性拉伸片材的磁流体流动的近似解[16].

本文在文献所获得近似解的基础上，利用简化的二阶微分方程，运用Galerkin有限元方法获得数值解,并与前人的数值结果进行对比.

1基本方程

讨论流经非线性拉伸片的不可压缩粘性磁流体流动，此时y=0.在与拉伸片垂直的磁场B(x)的影响下，此流体是导电的.为了便于计算，忽略感应磁场，得到边界层流的控制方程为

(1)

(2)

其中：u、v分别表示x、y方向上的速度分量，γ是运动粘度，ρ是流体密度，σ是流体的导电系数.忽略外电场和极化效应的影响[11]，则

(3)

边界条件为

u(x,0)=γxm,v(x,0)=0

(4)

u(x,y)→0(y→0)

(5)

最近，Eerdunbuhe 和Temuerchaolu[16]利用对称李群法将MHD边界层问题(1)~(5)转化成如下常微分初边值问题

f ‴(η)+f(η)f ″(η)-β[f ′(η)]2-

Mf ′(η)=0,η∈[0,+∞)

(6)

及其边界条件

f(0)=0,f ′(0)=1,f ′(+∞)=0

(7)

2方程的进一步简化

令t=f ′(η)，则η=g(t)是其反函数.于是

t=f ′(g(t))

(8)

对(8)式关于t求导，得

(9)

对(9)式关于t求导，得

f ‴(η)=z(t)z′(t)

(10)

在(8)式两边同乘以g′(t)，得

(11)

对(11)式两端从t到1积分，得

(12)

把(8)、(9)、(10)式和(12)式代入(6)式得

(13)

将(13)式两端同时除以z(t)得

(14)

对(14)式关于t求导，得

z2(t)z″(t)+(βt2+Mt)z′(t)+

(1-2β)tz(t)-Mz(t)=0

(15)

并且有

(16)

从而将方程(6)、(7)转化成方程(15)、(16).

3Galerkin有限元方法及其求解

下面运用Galerkin有限元方法求解方程(15)、(16)的数值解.

3.1　Galerkin有限元方程组

tj=jh(j=0,1,2,…,N)，

zj=z(tj)(j=0,1,2,…,N).

由z(0)=0知z0=0.令

(17)

其中

由变分原理知

Mz(t)]φj(t)dt=0,j=1,2,…,N

(18)

利用分部积分计算得

(19)

由于z(1)=zN，则

φj(1)=0(j=0,1,2,…,N-1),φN(1)=1.

于是

j=1,2,…,N-1

(20)

和

(21)

利用(17)式，可将(20)、(21)式化成

j=1,2,…,N-1

(22)

其中

和

(23)

3.2　Newton迭代法求解非线性方程组

令

zT=[z0,z1,…,zN]

(24)

和

(25)

其中

Hj(z,β,M) = Ajzj-1+ Bjzj+ Cjzj + 1-

求非线性方程组(22)、(23)的解就相当于求非线性方程组

H(z,β,M)=0

(26)

的解.该系统的Jacobian矩阵

(27)

是三对角的，其中

4数值结果

从表1中可以看出，对给定初值和最大误差，可以通过Galerkin有限元方法计算出f″(0)的值，其值均为负值，并且通过与文献[16]中使用的HPM法所获得的数值结果进行比较，比较结果显示Galerkin有限元方法所获得结果与前人结论基本吻合.这说明运用Galerkin有限元方法解决此类问题的可靠性和有效性.

表 1　当β=1和β=1.5时，HPM法和Galerkin有限元法所得f ″(0)数值结果

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[10]Mukhopadhyay S. Effects of slip on unsteady mixed convective flow and heat transfer past a stretching surface[J]. Chin. Phys. Lett., 2010, 27 (12): 124401.

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[13]Kechil S A, Hashim I. Series solution for unsteady boundary-layer flows due to impulsively stretching plate[J]. Chin. Phys.Lett., 2007, 24 (1): 139-142.

[14]Shahzad A, Ali R, Khan M. On the exact solution for axisymmetric flow and heat transfer over a nonlinear radially stretching sheet[J]. Chin. Phys.Lett., 2012, 29 (8): 084705.

[15]Butt A S, Ali A. Effects of magnetic field on entropy generation in flow and heat transfer due to a radially stretching surface[J]. Chin. Phys.Lett.，2013,30(2):024701.

[16]Eerdunbuhe, Temuerchaolu. Approximate solution of the magneto-hydrodynamic flow over a nonlinear stretching sheet[J]. Chin. Phys. B, 2012, 21 (3): 035201.

(责任编辑穆刚)

Numerical solution to the MHD flow of a viscous fluid over

a nonlinear stretching sheet

HU min

(School of Mathematics and Computer Science, Panzhihua University, Panzhihua Sichuan 617000, China)

Abstract：The magneto-hydrodynamic(MHD) boundary layer of a viscous fluid towards a nonlinear stretching sheet is studied. Based on the problem of initial boundary value of ordinary differential obtained by the former expert, it was further simplified with proper replacement, and using Galerkin finite element method the nonlinear equations are obtained, then the reduced problem is solved by the Galerkin finite element method and Newton iterative method. The numerical solution is tabulated for the values of various parameters and compared with the known solutions. It is found that the numerical solution agrees with the known solutions, showing the reliability and validity of the Galerkin finite element method.

Key words：MHD flow; nonlinear stretching sheet; Galerkin finite element method; numerical solution

[中图分类号]O361.3

[文献标志码]A

[文章编号]1673-8004(2015)05-0026-04

[作者简介]胡敏(1981—)，女，四川宜宾人，助教，硕士，主要从事微分方程方面的研究.

[基金项目]攀枝花市自然科学基金项目(2014CY-G-22); 攀枝花学院项目(2014YB40).

[收稿日期]2015-01-16