基于导学案建设的三角形“四心”问题

宋伟

摘 要：三角形的外心、内心、重心、垂心以及三角形的外心与几何图形的有机结合，可拓宽应用范围，使很多几何问题得以解决，向量法解决“四心”问题可以简化计算.要注重概念的内含与外延.

关键词：外心；内心；垂心；重心

在高中数学的学习过程中，“四心”问题经常出现在立体几何与向量问题中.三角形的“四心”问题是学生在学习过程中比较棘手的问题.如果我们对这一问题进行专项训练和研究会收到良好的效果.我们应该对“四心”的概念及性质做到心中有数，三角形“四心”即外心、内心、重心、垂心.

一、在立体几何中，经常涉及三角形的“四心”问题

1.常见题型

过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥a，垂足为O，连接PA，PB，PC

（1）若PA=PB=PC，△ABC是直角三角形，则点O是AB边的 中点.

（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心.

（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA则点O是△ABC的垂心.

2.三角形的外心在立体几何中有广泛的应用

在高考中，有时会涉及空间几何体的内切及外接球问题，事实证明，学生对这个问题的处理能力非常薄弱，不得要领.很多学生按照思维定式试图画出图形来观察，结果陷入误区.要画出比较直观的立体图形是难上加难，但如果抓住要领，不画球就能解决所有问题，其中特别有一类关于三棱锥和三棱柱的外接球问题.

对于三棱锥或三棱柱的外接球问题，我们首先可以借助于正弦定理求出底面三角形的外接圆半径，然后利用勾股定理求几何体外接球半径.

已知，球的直径SC=4，A，B是该球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）

A. B. C. D.1

我们可以通过余……