由两道数学竞赛题谈泰勒公式及其应用

张现强

摘要：本文通过对利用泰勒公式求解两道全国大学生数学竞赛题的分析，总结概括了泰勒公式在证明导数相关结论时的思考方法，为学生学习掌握泰勒公式提供了一种有效帮助.

关键词：泰勒公式;导数;证明

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）05-0170-02

一、引言

在高等数学中，泰勒公式作为微分中值定理的一种推广，有着重要的应用，它提供了一种用导数值多项式近似表示一般函数的方法。泰勒展开为解决一些求解极限、判定级数敛散性、证明导数相关结论等问题提供了一种非常有效的方法。但是在学习过程中，很多同学觉得泰勒公式在证明等式和不等式中的运用比较难懂，特别是感觉技巧性太强，根本不会去联想到答案中的方法，总感觉有些方法是空穴来风。一般来说，泰勒公式的证明是有一定难度的，证明确实是有一定技巧性的，但这种技巧也并不是无迹可寻的，大部分的证明题所要证的结论和题干中的信息还是很具有暗示性的，如果能敏锐地观察到这些暗示信息，可能你就会找到突破口在哪里，焦点就在于这个泰勒公式展开到底在什么点展开，展开到几阶的问题。本文通过两道全国大学生数学竞赛试题分析泰勒公式在证明一些导数相关结论时的应用，为学生学习掌握泰勒公式提供一种帮助。

二、泰勒公式进行函数展开的定理

定理1 设函数f（x）在点x  的某个邻域内有直到n+1阶的导数，则对此邻域内任意点x均有

f（x）=f（x  ）+f ′（x  ）（x-x  ）+  （x-x  ）  +…+  （x-x  ）  +R  （x） （1）

且 R  （x）=  （x-x  ）   （ξ介于x  与x之间）  （2）

（1）式称为函数f（x）在x=x  处的泰勒公式或泰勒展开式，（2）式称为f（x）在x=x  处的拉格朗日余项。也可记R  （x）=o（x-x  ）  ，稱之为f（x）在x  处的皮阿诺余项。

特别地，在（1）式中令x  =0则得到

f（x）=f（0）+f ′（0）x+  x  +…+  x  +R  （x）

R  （x）=  x   （ξ介于0与x之间）

称之为f（x）的麦克劳林（Maclaurin）展开式。

应用上面的定理可以将函数f（x）在一个合适的点x  展开，从而完成关于一些导数结论的证明。下面从两道竞赛题来看。

三、两道全国大学生数学竞赛试题

例1（第三届全国大学生数学竞赛预赛）设函数f（x）在闭区间[-1，1]上具有连续的三阶导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f ′（0）=0，求证在开区间（-1，1）内至少存在一点x  ，使得f ？苁（x    ）=3.

分析 结论是关于存在性的证明，并且是关于三阶导数，从而可以想到是应用泰勒公式，而且最好展开最高阶导数到三阶.题目条件中给出了函数在0点的一阶导数值，从而我们可以考虑将函数在0点展开，即考虑函数f（x）的麦克劳林展开式。结论中只出现了三阶导数，从而展开式中的前三项肯定经过适当处理化简掉。若注意到条件f（-1）=0，f（1）=1应该就不难想到是将点-1，1带入展开式中，两式相减即可。详细证明如下：

证 将函数f（x）应用麦克劳林公式展开，得

f （x）=f （0）+f ′（0）x+  x  +  x  ，ξ介于0与x之间，x∈[-1，1]

在上式中分别取x=1和x=-1，再由f ′（0）=0得

1=f（1）=f（0）+  f ″（0）+  f ？苁（ξ  ），0<ξ  <1

0=f（-1）=f（0）+  f ″（0）+  f ？苁（ξ  ），-1<ξ  <0

上面两式相减，得

f ？苁（ξ  ）+f ？苁（ξ  ）=6

由于f ？苁（x）在闭区间[-1，1]上连续，因此f ？苁（x）在闭区间[ξ  ，ξ  ]上有最大值M和最小值m，从而

m≤  （f ？苁（ξ  ）+f ？苁（ξ  ））≤M

再由连续函数的介值性定理，至少存在一点x  ∈[ξ  ，ξ  ]？奂（-1，1），使得

f（x  ）=  （f ？苁（ξ  ）+f ？苁（ξ  ））=3

例2（第五届全国大学生数学竞赛决赛）设f∈C  （-∞，∞），

f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+  f ″（x+θh）h

其中θ是与x，h无关的常数，证明f是不超过三次的多项式。

分析 结论表面看起来与导数无关，但是证明f是不超过三次的多项式，我们很容易想到只要说明f的四阶导数等于零即可。另外条件已经出现了f（x+h）的泰勒公式，我们自然也就会沿着这一思路进行分析。但是条件只是展开到二阶导数，而证明我们的结论需要四阶导数，从而我们可以重新对函数f（x+h）进行四阶泰勒展开.之后想法说明f的四阶导数等于零。详细证明如下：

证 将f（x+h）在x点处泰勒展开

f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+  f ″（x）h  +  f ？苁（x）h  +  f  （ξ）h   ①

其中ξ介于x与x+h之间。

再将f ″（x+θh）在x点处泰勒展开

f ″（x+θh）=f ″（x）+f ？苁（x）θh+  f  （η）θ  h  ②

其中η介于x与x+θh之间。

由上面①②式及已知条件f（x+h）=f（x）+f ′（x）h+

f ″（x+θh）h  可得

4（1-3θ）f ？苁（x）=[6f  （η）θ  -f  （ξ）]h

当θ≠  时，令h→0得f ？苁（x）=0，此时f是不超过二次的多项式;

当θ=  时，有  f  （η）=f  （ξ），令h→0，此时ξ→x，η→x，有f  （x）=0

从而f是不超过三次的多项式。

四、应用举例

关于导数结论的证明的题目一般分为关于存在性和关于任意性的证明两类。由上面两道竞赛题来看，使用泰勒公式时关键是确定出对哪个函数在哪一点进行泰勒展开，展开到几阶导数。一般来讲，题目中有若有关于某点导数的信息，或者哪个点的导数值比较好确定，就将函数在这一点展开，若有给定点的函数值，就将这点代入展开式。下面我们再通过两道例题进行分析。

例3 设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0，  f（x）=-1，证明：存在η∈（0，1）使得f ″（η）≥8.

分析 结论仍然是关于存在性的证明，并且是关于二阶导数，所以可以考虑将函数泰勒展开到二阶导数。给出了最小值，且可确定该点是内点，那么该点的一阶导数必然为0，自然考虑将函数在该点展开，然后代人0，1点的值进行分析。详细证明如下：

证 由条件知存在x  ∈（0，1）使得f（x  ）=-1为f（x）在[0，1]上的最小值，且f ′（x  ）=0

將f（x）在点x  处泰勒展开

f（x）=f（x  ）+f ′（x  ）（x-x  ）+  （x-x  ）   （ξ介于x  与x之间）

再由f（0）=f（1）=0可得

0=f（0）=-1+  x     （ξ  介于x  与0之间）

0=f（1）=-1+  （1-x  ）  （ξ  介于x  与1之间）

所以，f ″（ξ  ）=  ，f ″（ξ  ）=

又因为x  ∈（0，1），所以

f ″（η）=max  ，  ≥  =8 η∈（0，1）

五、结束语

作为高等数学中一个非常重要的知识点，泰勒公式是一些学历考试及竞赛的重点及难点。关于泰勒公式在极限求解、级数敛散性的判定及近似计算方面的应用已有非常多的介绍，本文重点分析介绍了其在关于导数证明方面的应用，归纳出了在证明此类问题时的分析思路，为学生学习掌握泰勒展开这一工具方法提供了一种非常有效的帮助。

参考文献：

[1]尹逊波，杨果俅.全国大学生数学竞赛辅导教程[M].2版.哈尔滨工业大学出版社，2013：201-206.

[2]陈兆斗，郑连存，王辉，等.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京：清华大学出版社，2010：124-126.

[3]赵坤银，王国政.微积分I[M].成都：西南财经大学出版社，2013：192-194.