构造法处理数学问题之例解

吴章文

(长江工程职业技术学院，武汉 430212)



构造法处理数学问题之例解

吴章文

(长江工程职业技术学院，武汉 430212)

数学问题复杂多样，处理问题的方法也是不胜枚举。为了教学的直观性和处理内容的灵活性，在不同课程内容中让学生找到相似规律，这里讨论的是构造法处理某些数学问题，以期提高学生解决数学问题的能力。

教学；初数；高数；构造法

1 跳跃式构造方法

由一种处理方法过渡到另一种处理方法，姑且将之表述为跳跃式。这种思维在数学研究中比比皆是。

就一元二次方程而言，主要有求根公式，还有韦达定理：

；

我们经常利用韦达定理作辅助方程解决其它问题。

显然直接处理有难度，但如果从多元方程式跳回一元二次方程，问题易于解之。从原方程可以得到：x+y=4；xy=4(1+sin2z)从而作辅助方程：u2-4u+4(1+sin2z)=0，本方程有实数解。故有

Δ=16-16(1+sin2z)≥0，

⇒，sin2z≥0，⇒，sinz=0

2 联想式构造法

高等数学与现代工程数学中可以看到这种构造的影子，或者说通过联想可以解决一些高数与工程数学问题。

这个结论或定理的论证能联想到初等数学中的方法就易于理解了。

3 动静结合构造法

罗尔中值定理具有明显的几何特征，试以下图作些说明。

图1

(1)f(a)=f(b)，曲线在闭区间[a,b]上连续

(2)曲线在区间(a,b)内光滑，也即可导f'(x)

(3)至少还有一点§，切线平行于OX轴，也即f'(ξ)=0

把这静止的构造图想象成运动的，图形活起来了，思维活起来了，数学的结论也活起来了，就可由罗尔中值定理顺畅地过渡到拉格朗日中值定理，证明定理的好方法也找到了。……