立足学情注重关联引领教学——从一道阅读理解试题的编拟谈起

☉重庆市大渡口区教师进修学校　廖帝学

☉重庆市第九十五初级中学校周晓东

立足学情注重关联引领教学——从一道阅读理解试题的编拟谈起

☉重庆市大渡口区教师进修学校廖帝学

☉重庆市第九十五初级中学校周晓东

一、缘起

例1（2015年重庆市中考数学试题第23题）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式.

这是重庆市自直辖近二十年以来第一次在中考试题中出现阅读理解型试题.由于此题涉及了数的整除——判断一个数能否被11整除，很多学生对此很不适应，所以此题得分率偏低.一些教师认为命题者命制此题失之偏颇，因为初中数学教材对这部分内容很少或几乎没有涉及.其实，细究此题，命题者通过“阅读”“理解”来考查“数、式、函数”等知识点，并无不妥.正是基于此，在2016年的一次区级中考模拟试题的命制过程中，我们再一次尝试命制了一道有关“数和式”的阅读理解型试题.

二、一道阅读理解试题的编拟过程

1.寻找素材

综观全国各地有关“数和式”的阅读理解型试题，在命题立意、命制方法确实有很多值得学习与借鉴的地方.好的阅读理解型试题，应该基于学生的实际认知水平和学习起点，供给学生“阅读”和“理解”的材料和问题应该与教材有“关联性”.我们不提倡将高中的一些知识以“新定义”“新概念”的形式出现在初中数学试卷上.

例2定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫作虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算：（5+i）×（3-4i）=19-17i.

（1）填空：i3=______，i4=______.

（2）计算：（3+i）2.

估计有的老师会说，这样的题目只要学生按“新定义”中所述法则操作即可，考查的仍是“数和式的计算”，有利于提高学生的“创新能力”.是的，估计学生根据理解确实能得出命题者所给正确结果.但是，做完这道题后会给学生留下什么呢？“如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1”，单就这句话，估计就会让很多学生产生疑问，因为在三年的初中数学学习过程中，学生知道的是“任何实数的平方都是非负数”.现在突然出现“一个数的平方等于-1”，这完全超乎出学生的现有知识体系.这样的题目并没有指向教学，与初中数学的“关联性”不大，不具有“生长性”，一定程度上不利于初中数学教学.所以，命题时我们一直坚持把素材确定在数和式的计算、整式的恒等变形等方面，重点体现对学生的数学方法的考查.我们决定对一道成题进行改编.

例3若一个整数能够表示成x2+2xy+2y2的形式，则称该数为“好数”.

（1）判断29是否为好数；

（2）写出80，81，…，100中的好数；

（3）如果数m、n都是“好数”，试说明mn也是“好数”.

此题是多年前的一道竞赛题，要解答此题，需将x2+2xy+2y2变形为（x+y）2+y2，这里可以考查学生对完全平方公式、配方法的掌握情况.但就当前初中数学的教学情况来看，因式分解中关于分组分解、拆项、添项的教学要求不高，学生解答此题难度大.我们认为，这恰好为“阅读理解”的编拟提供了用武之地.

2.改编定型

命题的目的不是把学生“难倒”，命题是为了有效地进行教学评价，不是命题者与解题者的思维博弈.所以在对例3这道成题进行改编时，考虑到很多学生不易想到将x2+2xy+2y2变形为（x+y）2+y2，我们把思维逐步“退后”，力争“退”到让学生通过“阅读”后能够真正“理解”.

例4若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为5= 22+12.再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”.

（1）请你再写一个小于10的“完美数”.

（2）判断29是否为“完美数”.

（3）已知S=x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由.

（4）如果数m、n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”.

为了能够让不同层次的学生在此题上都有收获，设计了四个由易到难的具有一定层次性的问题.第（1）、（2）问简单地考查了学生对“完美数”的理解和领悟.第（3）问则需将式S通过配方变形为两式的平方和形式.第（3）问和第（4）问是递进关系，第（3）问的正确解答为第（4）问做了较好的铺垫.第（3）问中，根据题意，S=（x+2）2+（2y-3）2，k可取13.第（4）问中，设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），则mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2= a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=（ac+bd）2+（bc-ad）2，mn也是“完美数”.

经过改编后的题目背景对学生来说并不陌生，考查的知识点也是学生常见的，借“完美数”这一载体完成了对“数与式”的一个重要知识点的考查，改编后的题无疑是较为成功的.

3.测试反馈

阅读能力是数学学习必备的一个重要能力之一.学生需在阅读中掌握概念，在阅读中体会定理内涵，在阅读中理解题意.提高学生的阅读能力是数学教师教学的一个重点.阅读理解型试题能够很好地对学生的阅读能力进行评价.例4的解答情况不很理想，此题满分10分，全区约3000人参加考试，平均分3.6分，得分率36%，满分率1.8%，零分率16.5%，难度为0.36.反映出来的问题有：对“小于10的完美数”，审题不仔细，写出的数超过10；29是完美数，没有说明理由；对式S进行变形时没注意“恒等”；“配方法”掌握不好；符号出错；（4y2-12y+9）-9中的“-9”易错；对（a2b2+c2d2）+（a2c2+b2d2）的配方，很多学生束手无策.

此题应该说是“生长”于教材，难度按理说不算大.学生“阅读”困难的很重要的原因是：此题的叙述方式、文字呈现方式和学生平时遇到的题目差异大，和学生的认知习惯有差距，学生需花很多的时间和精力来阅读理解.对第（4）问的拆项、添项部分新课标教材没要求，阅读材料中并没有拆项、添项一起进行的示范，学生也没这方面的意识，这导致解答困难.

三、教学启思

1.试题的编拟要“立足学情”

试题是为学生而编拟的，所以在编拟试题时一定要立足于学情.要关注学生的认知习惯、考试心理.数学试题的风格、呈现方式要与学生平时所接触教材的方式一致.在阅读理解型试题中，仍然要尽量避免用一些深奥、晦涩、难懂的符号让学生去“理解”，增大学生的认知负荷，直至影响学生解答其他题目.

2.试题的编拟要“注重关联”

对于数学“关联性”的认识，在《义务教育数学课程标准》（2011年版）中关于“课程目标”下的第2点就指出：“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系……”要命好试题，对某个知识点与其他知识点的关联要熟知，对这个知识点所形成的知识链必须知晓.只有这样教师的命题才会有“高观点”“高立意”.

3.试题的编拟要“引导教学”

好的模拟试题，不仅有诊断、激励的功能，更有对教师的“教”、学生的“学”能起到较好的导向、引领作用.“研题”是提高数学教师专业素养的重要途径.“研题”，除了要研究题目的解法，更要研究试题的命制及其教学意义，进而让试题成为教学的重要资源，价值得到最大限度的发挥.

1.王道勇.读出“新概念型”阅读理解题的“种”和“类征”［J］.中学数学（下），2015（11）.

2.朱国桅.把握例题精髓彰显示范功能［J］.中学数学（下），2016（3）.

3.朱记松，等.命题要谨慎用题需质疑——对一道中考模拟题的解答思考［J］.中小学数学（初中），2016（3）.