单自由度非线性振动等效线性化法分析

陈俭勇

摘  要：对于单自由度非线性振动的微分方程的求解方法很多，但等效线性法是一种处理简单、实用的方法。其对于研究如单摆等弱非线性问题的精度是可以满足要求的。当前关于单摆式运动的研究不断深入和创新，形成能够使主体结构耗能减震的TMD阻尼器。

关键词：非线性振动;等效线性化;单摆;TMD阻尼器

中图分类号：O322 文献标识码：A

1 引言

工程系统可以分为线性系统和非线性系统，对于线性系统的动力微分方程的求解已经有很成熟和精确的方法。但对于非线性系统的动力微分方程的求解还没有精确的方法，现在形成并应用的有相平面法，摄动法，数值法，其中一种方法-等效线性化法由于处理简单常被应用研究弱非线性问题。本文将详细分析和研究等效线性化法处理思路和应用。

2 等效线性化法

（1） 等效线性化法简介

非线性振动系统的微分方程可以概括为：

， 为小量。（1）

当 时，   （2）

方程（1）的一次近似解设为 ，

可将非线性力 展开成傅里叶级数并仅保留基频;

（3）

其中，

将其带入方程（1）可得：

（4）

因此，可记为：

这样，就可以将非线性系统化为形式上的线性系统即：

-为等效阻尼系数， -为等效刚度系数，则有，系统的固有频率为： ，系统的阻尼比为：

系统的解为：

（2） 等效线性化方法的最优性

当假设系统作简谐振动时，在 的一个周期 内考虑非线性力与等效线性力误差的平方累计：

（6）

以 代入（5）式则有，

为确定△的极值，分别对 和 取偏导数有：

（7）

从上式可知，当且仅当（5）成立时有 ， ，故此时 有极值，再分别对（7）式求二阶倒数可知：