几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误

【摘 要】人类5千年来一直认定各已知自然数n与1等的和n+1等均是已知自然数。2300年初等几何、中学几百年解析几何一直认定：共过空间两异位的直线必重合；共面平行直线之间只有重合与非重合两种关系；R2平面中的直线的方程必可是a：y（x）=kx+b。然而几何、集合起码常识凸显：一切已知自然数组成的N有元n的对应n+1是N外自然数而无穷大倍于1等，直线A沿本身平移或伸缩后就≠A了从而使R2中能由方程a表示的直线的全体只是该面上直线全体的沧海一粟。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段，从而使康脱推出“直线段部分点可与全部点一样多”。人类几千年来一直认定各已知正数x的对应x+3均是已知正数，然而区间概念凸显R有“更无理”元x的对应x+3?R。发现几百年函数“常识”：变域为R+的x≥0的各对应kx≥0（正常数k≠1）、xk≥0、...的变域均=R+等等，其实是违反集合、几何起码常识的重大错误。

【关键词】N外无穷大自然数及其倒数；假自然数集（列）；貌似重合的伪二重直线（段）；推翻百年自然数公理和百年集论；直线的伸长与缩短变换；一次方程及其图像；著名数学家朱梧槚、王世强

1 不是只有外国人才有发现数学危机的敏锐洞察力——不能不重视著名数学家朱梧槚9年前重大发现

中国著名数学家王世强敢于实事求是地强烈推荐[1]书，肯定朱梧槚教授、博导“在数学方面...得到一系列重大成果。”（[1]书序1）[1]书4页：“朱梧槚的‘...等一系列重大发现表明整个数学基础大厦已经岌岌可危！这一切将预示着怎样的数学危机？”。李醒民著《激动人心的年代》75至76页：“危机是科学革命的前夜，...。只有清醒认识到危机和...，才有可能...。相反，看不到危机的根源和危机的严重性，就难以感觉到变革旧理论的必要性和紧迫性，至多只能在旧理论框架内修修补补，甚至还会把别人所发现的触及旧理论基础的新现象、所提出的革命性的新概念和新理论当作异端邪说加以反对。”朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生4位数学家先知先觉地敏锐洞察到数学中占统治地位的百年集论中的“无穷集都是自相矛盾的非集[2]”。此9年前重大发现被许多没能“清醒认识到危机”的人视为“怪论”。有人因这发现非发表在某“权威”杂志上而认为其非重大发现。“以论文发表处取文”与“以衣帽取人”一样都是幼稚而不成熟的表现，“英雄不问出处”和“看文不看人、不看出处”才是正确的；俄罗斯一数学家获百万美元奖的论文甚至没发表在任何纸质期刊上！

著名数学教育家张奠宙著《数学的明天》3页：“数学不像有些人宣传那样，存在‘数学危机。数学在一日千里地前进。”人类认识自然数已有5千多年。“科学”共识：数学，尤其是关于自然数列和最简单、基本的图形：射线和直线（段）方面的中学知识绝不会有重大错误更谈不上有一系列...；现代数学的严密精确性就如2×2=4那样成为不容争辩的事实；若有人声称凭中学数学发现“初等数学中的初等数学”有重大错误从而让5千年都无人能识的自然数和中学几百年解析几何一直未能识的直线（段）一下子暴露出来（若属实则是数学有史5千年来的最重大革命发现），那就是将全世界几千年来一届届的高中毕业生都当成是没思考能力的傻瓜了。“反科学”的神话般“太狂妄”发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：相等的图形必合同。②集合起码常识d：若有序数集A=B则A的元与B的元必可由小到大一一对应相等即有x?y=x（表A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A）；若A只可～B的真子集而不可～B则B的元必多于A的元。③区间概念。设R所有非负元x≥0组成R+。复变函数论一直认定平面z=x+iy的正实轴z=x≥0在映射z′=z2下“变为正实轴z′=x2≥0”（非保距变换），因有中学几百年函数“常识”：定义域为R+的y=x2≥0的值域=R+；其实这是违反常识c、d从而使中学数学自相矛盾的肉眼直观错觉。

2 点集相等、合同概念暴露中学几百年解析几何重大错误：将无穷多各异直线误为同一线

点（物体）x移动到新位置成点x′还是移动前的点（物体）即移动前后的点只有位置差别而无别的差别。至少有两元的点集甲保距变为点集乙就称甲≌乙——表示甲与乙可通过保距变换而重合。因相等的图形（点集）必合同故有

h定理1：至少有两元的点集A经一次变换变为B，B=A的必要条件是该变换是保距变换即A≌B。

设本文所说变数都可形象化为沿一维空间“管道”G内运动的动点（可固定一下），n个变数可形象化为同在G内的n个动点。“集A各数（点）”说明A是数（点）集。与x相异或相等的数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）。说R轴即x轴各元点x可沿轴前移变为点x+△x=x+3=X就是说R轴可沿轴正向保距平移距离3变为元为点X的X=x+3轴。其余类推。

h定理2：管道G内x轴各点变换为还在G内的点x+△x=X形成元为点X的X=X（x）轴，x轴=X轴的必要条件是|x|=|X|（x的变域是x轴）。

证：x轴各点x到位置x=0的距离是|x|，X轴各点X到x=0处的距离是|X|，若两轴是同一轴则这两距离必是同一距离函数即|X|=|x|。证毕。

h定理3：起点在同一位置W的两射线（或直线段）A与B相等的必要条件是A各点到W处的距离（这是变量）与B各点到W的距离是同一距离函数（证：若A与B是同一点集则这两距离必是同一变量）。

x轴的射线x≥-1沿轴正向平移变为元为点X=x+1≥0的射线X=x+1≥0（x≥-1），其与射线x≥0有共同起点：位置x=0。射线x≥0各点x≥0到位置x=0的距离是ρ1=x≥0， 射线X≥0各点X=x+1≥0到x=0处的距离是ρ2=X=x+1≥0（x≥-1），由ρ1≠ρ2知这两射线不重合。

按“橡皮几何学”观点R2面是橡皮面而可弹性伸缩。z=x+yi面伸展成3z=3x+3yi=X+Yi面（XY面）使z面的子部：x轴和y轴随之伸长变换成X=3x轴和Y=3y轴， x轴的射线x≥0伸长变换成射线X=3x≥0。

中学生须正确认识定义域为R或N的y=kx（正常数k≠1）和y=x+k等一次函数的值域。自有函数概念几百年来一直公认的中学“y=kx的值域=R”其实是违反几何常识c和集合常识d的肉眼直观错觉。R轴即x轴可伸缩变换为X=kx轴（正常数k≠1）即x轴各元点x可变为点x+△x=kx=X（从而有x?X=kx）生成元为点X的X=kx轴；x轴≠X=kx轴（即定义域为R的X=kx的值域≠R）的理由：①伸缩变换是非保距变换即x轴不≌X轴——推翻举世公认2300年的公理：凡直线必合同；据h定理1x轴≠X轴。②|x|=|X|=|kx|（x的变域是x轴）不成立，据h定理2x轴≠X轴。③显然在x?kx中当且仅当k=1时才可有x?kx=x。故中学解析几何一直将X=x轴与用而不知的X=2x轴、X=x/2轴、...等无穷多各异轴误为同一轴：X=x轴，继而将无穷多各根本不同的相应平面等误为同一平面R2等。这自然就搞错了无穷多变量的变域。

“z=x+iy面的实轴z=x在映射z′=z+3下变为实轴z′=z+3=x+3”的理论依据是中学几百年函数“常识”：定义域为R（即x轴）的X=x+△x=x+3的值域=R。其实这是违反集合常识d的肉眼直观错觉。理由：①比x大（小）的数y可称是在x前（后）面的数y。“N各元n都有对应自然数2n及2n+1等”。N={n}={0，1，2，3，...}各元n变大为自然数n+1组成H={n+1}={1，2，3，4，...}各元n+1与各nn都在n的前面；N各元n只能与各n+1中的n=0，1，2，...一一对应相等。同样，各元x均有对应数x+3的R各元x保距变大为X=x+3生成元为X的R′各元x+3与R各元x不可一一对应相等，因各x+3>x都在x的前面，R各x只能与各x+3中的x一一对应相等。②x轴沿轴保距平移变为元为点X=x+3的X=x+3轴，|x|=|X|=|x+3|（x的变域是x轴）不成立，据h定理2x轴与X=x+3轴不重合即定义域为R的X=x+3的值域≠R。

管道G内点集是由一个个点组成的点列。至少有两元的点列A各点x沿G正（负）向保距前（后）移变成点x+△x≠x形成点列B不可还=A了，因各点x+△x都在点x的前（后）面从而使...。在x?x+常数△x中显然当且仅当△x=0时才可有x?x+△x=x。

极显然：任一无穷有序数集A各数x全都变大为y>x组成的集不能还是A了，因各y>x都在x的前面从而使...。一句话：集随元的变换而变换，数集各数全都保序增大形成的新数集不能还是原集了。凡不合逻辑的理论必是不符合实际的错误理论。

注：直线y（x）=0的定义域是x轴而直线y（3x）=0中自变量3x的变域是X=3x轴≠x轴，同样...。

3 几何、集合起码常识让5千年都一直无人能识的自然数一下子暴露出来——中学几百年重大错误：将无穷多假N误为N

设两不交且非空A、B的并集记为A+B=C。N各元n变为两个数n、-n组成{n、-n}={n}∪{-n}各元n、-n 与N={n}各元n不可一一对应相等。N各元n一增为二地变为两个数2n、2n+1组成N′={0，1；2，3；…；2n，2n+1；...}=N吗？几百年“N′=N”其实是重大错误。理由：

①保距变换的特点之一：一个点只能变为一个点。射线R+各点x≥0变为两点：x≥0、-x生成R轴不是保距变换。同样N各点n变为两点2n、2n+1生成N′不是保距变换即N不≌N′，据h定理1N′≠N。

②N各元n变大为2n、2n+1（n=0变为两数2n=0和2n+1=1是变大了）形成N′={2n，2n+1}={2n}+{2n+1}不能还是原集N了。在管道G内有3个N成三重点集N∪N∪N={（n，n，n）}=N而由一组组三重点（n，n，n）组成，现其中一N各点n≥0沿G正向前移成点2n≥0（生成{2n}），另一N各点n≥0前移成点2n+1（生成{2n+1}），各前移点2n、2n+1与各不动点n∈N显然不可一一对应重合在一起，因各前移距离≠0的点2n>0和2n+1都在点n>0的前面；各前移点欲与各不动点n∈N一一对应重合显然就只能各自退回到原位。

③因n?（2n，2n+1）故无人能证N各元n与N′各元2n、2n+1能一一配对，正如若每人有两支笔则人和笔不可一一配对一样；据集合常识d由N不可～N′知N′的元多于N的元——说明N′中必有N外自然数。N′={2n，2n+1}={0，1；2，3；4，5；…；... }中0与各2n>0之间的数n均∈N′，各2n中的n∈N′的全体组成I={n}=N各元n与N各元n可一一对应相等；鲜明对比的是无人能证I=N各元n与N′各元2n、2n+1能一一对应相等。n>0被限制只能代表区间

Q=（0，2n+1）=（0，n]+（n，2n]+（2n，2n+1）

内的自然数，当Q中n遍取N一切正数n时Q中（0，n]就包含N一切正数n；据区间概念和2n+1>2n>n（n遍取N一切正数）的含义，此时Q中至少有一偶数2n=T∈N′在（0，n]外而>一切已知自然数n∈N——推翻中学5千年“常识”：无自然数能>N一切数（注：非标准分析也认定各标准自然数n的对应2n等均是标准自然数）；5千年不识这类用而不知的N外T使中学一直将N的真扩集N′误为N从而误以为～N的{2n}?N，...。显然T的倒数1/T<任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。人类由认识自然数到发现T竟须历时5千多年！

同理，N各元n变为3个数3n、3n+1、3n+2组成N″={0，1，2；3，4，5；…；3n，3n+1，3n+2；...}的元3倍于N的元（下节更有力证明此事实）；N各n变为4个数4n、4n+1、4n+2、4n+3组成的集的元4倍于N的元；...；N′各元m=0，1，2，…变为2个数2m、2m+1组成{2m，2m+1}的元2倍于N′的元使其是假N；...——说明已知整数全体仅是整数全体的沧海一粟。可见几何、集合起码常识和区间概念使持续几百年的将无穷多假N误为N的重大错误“N=N′=N″=....”一下子暴露出来。真正建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。

4 数列起码常识、相等与区间概念凸显：N有最大元，R有正数x的对应x+3?R

h定理4：不含负数的数（点）集A与B相等的充分必要条件：A各元x到0的距离|x|=x=y（B各元y到0的距离）即x=y，若y=y（x）则y（x）=x是恒等变换式。

证：A（或B）各元x（或y）（非负数）到0的距离是变量x-0（或y-0），显然若A与B是同一集则x与y必是同一距离变量即y=x。证毕。

数列起码常识：无穷数列A={an}（其中各数相异）各数an均有序号数n与之配对而均在第n号位；A各数任意改变前后位置后就形成≠A的数列了，故A是由数与容纳数的位置两部分组成，A第n项有两要素：an和与其配对的第n号位置。所以相应各数与各位置序号数n一一配对才能构成一数列。级数论的“黎曼更序定理”说明数列N={0，1，2，3，...}各数n可任意改变前后位置例{0，1，2，4，3，6，8，5，10，12，...}（不同位置有不同的数）还由N全部数与位置组成；同样...。显然应有h逻辑学常识：N各数任意改变前后位置形成的数列的各数与N各位置还是已一一配对，所以无论怎样改配对方案，在各新配对方案下构成的新数列的各数都在N的位置内。N={0，1，2，...}各数n都“坐”在n号位，一n前移“夺占”n′的座位的同时其原座位也变空，故被夺座位的数都可后移到空位内。所以N各非0数n=1，2，3，…均可左移一格改与n-1号位配对，在这新配对方案下原在第0号位的0也必可有N的座位与其配对即0可右移到空位内从而处在新数列（由N全部数与座位组成）各非0数n≥1的后面而在第n=Ω号位，详论见[3]。据相等概念若A=N则A各元n与N各元n不论在何配对法则下都必可一一配对而不是只有在某特殊配对法则（例n?n）下才可，即不论如何配对都必能保证A=N每一元n都能配到“配偶”∈N。否则“相等”是不合逻辑的假象。所以在A=N各非0数n≥1都有配偶n-1（≥0）∈N（所有配偶n-1组成{n-1}）的同时A=N的0也必可按另一配对法则有配偶Ω∈N；显然这{n-1}外的Ω∈N是N的最大元。凡不合逻辑的理论必是不符合实际的错误理论。文[4]有一改天换地的改偶定理：

h定理5：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”“喜新厌旧另结新欢”改配偶使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身。

证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新夫妻的各自原配偶x0与y0就成一对单身，一单身x0“再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻（x1，y1）而生一新单身x1，...，没别的可能。故F中非单身任意改配偶（新配偶必是F中人）后一方出n个单身的同时对方也只能出n个单身。证毕。

h定理6：若非空A～B?无穷集C=（C-B）+B则A不可～C；故C的任何真子集B～B?C都不可～C。

证：用反证法。假设A～C成立则在A、C双方的元一一配对后再令A各元x都改与C中B～A的元y配对从而有x?y∈B后，A～B?C就有0个单身，据h定理5（改偶定理）C=（C-B）+B也只有0个单身，然而事实上（C-B）?C各元都是单身，故假设不成立。证毕。

所以“可～其真子集”的“无穷集”确实“都是自相矛盾的非集[2]”。

N各数n≥0的后继n+1≥1的全体组成H={1，2，...，n+1，...}～N， 中学几百年“H=N一切正数n≥1组成的N+={1，2，...，n≥1，...}?N”其实是将两异数列误为同一数列。理由：⑴据h定理6～N的H不是N的真子集N+?N。⑵N+各点n≥1到点n=0的距离是n≥1， H各点n+1（n≥0）到点n=0的距离n+1≥1与n≥1不是同一距离函数，据h定理4N+≠H。⑶显然当区间E=[0，n+1]=[0，n≥0]+（n，n+1]中的n≥0由小到大遍取N一切数n时E中[0，n]就包含N，据区间概念此时E中至少有一自然数n0+1（>n0∈N）∈H在[0，n]外而>N?E一切数n；显然n0=Ω是N的最大元——其后继Ω+1是N外数。极显然：能由可变E中n代表的数的全体N之外还有自然数∈E。

N各元n变为两数n、n+1组成S={n、n+1}各元n、n+1与N各元n∈S不可一一对应相等，包含N一切数n的S≠N说明S中至少有一数n0+1（>n0∈N）在N外而>N一切数n；显然n0=Ω是N的最大元——...。

不断增元的集是变集。其项不断由n个增加到n+1个的数列是变数列B：由{0}变到{0，1}变到{0，1，2}变到…，当且仅当其项不再增加而有末项时B才成固定数列N。“实无穷”观认为可有包含无穷多个项的固定数列，但又断定其没末项；这显然是不合逻辑的自相矛盾。所以“没最大元”的“无穷集N”确是“自相矛盾的非集”。详论见[3]。稍有一点头脑的人都不否认：既然N={0，1，2，...}是无穷数列，那当然就有与0相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由0写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。所以“无穷集N各数n都是有穷大自然数”中的N确是“自相矛盾的非集”。以非集为集的理论必是错上加错的更重大错误。

R各元x变大为x、x+3>x组成C={x、x+3}=R∪{x+3}（非保距变换）不能还是原集 R了，据h定理1也得此结论。包含R的C≠R说明C中必有数x+3>x∈R在R外而>R一切数x。同样R+-{0}=U各元x>0变小为x、x/20。可见有用而不知的正实数分别>和0推翻百年“R完备、封闭”论。

R+所有≥3的数x≥3组成A（中学记A=[3，∞））?R+。R+各元x≥0保距变大为X=x+3≥3组成元为X≥3的A′（现有数学记A′=[3，∞））～R+。问题是A≠A′！理由：① 据h定理6～R+的A′不是R+的真子集A?R+。②A各元x≥3到0的距离是变量x≥3而A′各元X=x+3≥3到0的距离是x+3≥3，据h定理4A≠A′。③z=x+yi面有射线z=x≥0和z=x≥3，射线z=x≥0可平移成射线z+3=x+3≥3，说射线z+3≥3与射线z≥3重合就是说两射线的差别为0：z+3-z=0或z-（z+3）=0，即说±3=0——矛盾；④据h定理3起点在同一位置的射线z+3≥3与射线z≥3不重合。⑤当区间K=[3，x+3）=[3，x]+（x，x+3=X）中的x≥3由小到大遍取A一切数x≥3时K就包含A?R+，据区间概念此时K外至少有一数X=x+3（>x∈A）∈A′大于A?R+一切数x≥3。对A任何（一切）元x≥3有区间q=[x，x+3）（x≥3遍取A一切数），注意到A中一个不漏的一切数都由q中x代表，故据区间集概念在各q=[x，x+3）（x≥3）外必有数X=x+3（∈A′）>A一切（任何）数x≥3。不识这类用而不知的R+外数X∈A′及其倒数使中学一直将两异集例A与A′误为同一集。可见流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“射线A=A′”其实是被伪二重射线迷惑。

物理学要知运动质点p在各时刻的速度就须研究p的非0位移，而这位移的长ρ须可<“任意给定”的正数ε，当ε=普朗克长度数P时非0的ρ<ε就是

5 几何起码常识暴露xoy平面上有无穷多类直线的方程均非y（x）=kx+b——集合起码常识凸显直线y=2x≠直线y+3=2x+2（3/2）

h定理7：任一数集A=B的必要条件之一：A各元x到0的距离|x|=|y|（B各元y到0的距离）；若A、B的元分别是复数z1、z2则|z1|=|z2|。

证：如[5]所述A（或B）各元x（或y）到0的距离是变量|x|（|y|），显然若A与B是同一集则|x|与|y|必是同一距离变量；A（或B）各元z1（或z2）到位置z=0的距离是|z1|（或|z2|），若A=B则|z1|与|z2|必是同一距离变量。证毕。

射影几何学有线束概念：过一定点a的直线绕a旋转所产生的图形称为线束。中学生就要求直线y（x）=kx绕点x=y=0旋转变成斜率为k+△k的新直线的方程，几百年解析几何一直认定：方程必是y=（k+△k）x，R2面上过位置x=y=0的一切直线（⊥x轴的直线除外）的方程必是关于x、y的方程y=kx，斜率相同且过点x=y=0的直线必重合相等；其实这是违反几何、集合起码常识的“以井代天”错误。

R轴的射线R+各元x≥0保序变为x+△x=kx（正常数k≠1）≥0（非恒等变换）组成的集可记为kR+，据h定理4kR+≠R+。射线R+各元x≥0变为x+△x=y=xn（n≥2）≥0组成元为y的J（非恒等变换也非保距变换），据h定理4或h定理1J≠R+；同样...。所以中学几百年“定义域为R+的X=kx≥0的值域=R+”、“J=R+”等等，其实是违反几何常识c的一系列肉眼直观错觉。

将两异射线误为同一线自然就会将两异直线段误为同一线段，从而使康脱推出病态的“直线段部分点可与全部点一样多”。线段D=[0，1]?射线R+各点x（非负数）变为点X=x+△x=xk（正常数k≠1）≥0组成元为点xk（0≤xk≤1）的D′覆盖在D上是非恒等变换也非保距变换，据h定理4或h定理1 D′≠D；...。线段Z′=[0，2]?R+的子部D=[0，1]?Z′各点x变为点X=x+△x=2x∈2R+≠R+生成元为点X=2x的线段Z=[0，2]（～D）?2R+覆盖在Z′上。Z′各点x到点x=0的距离是变量x，Z各点X=2x到点X=2x=0的距离是2x≠x，据h定理4或h定理3等长的Z′与Z不相等，是伪二重线段；据h定理6～D?Z′的Z≠Z′。同样....。但限于篇幅本文无法详谈。

z=x+iy面的实轴z1=x绕其中心点z=0反时针旋转θ角成斜率为k=tanθ的直线z2=z1（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=X+iY（Y/X=tanθ）即直线Y=tanθX=kX（0<θ<1800）（保距变换），直线z1=x各点z1=x+i0的高度（可<0）均由y=0变为y=kx生成斜率为k的直线z3=x+ikx即y=kx是不保距变换，使直线z3不≌x轴从而也不≌直线z2；中学解析几何一直认定直线y=kx与直线Y=kX重合，其实这是违反几何常识c的重大错误。理由：①|z3|=（x2+（kx）2）1/2=|x|（1+k2）1/2≠|z2|=|x|，据h定理7直线z3≠直线z2；②据h定理1由直线z3不≌直线z2也得此结论。③两线各点的横坐标x与X=xcosθ不可一一对应相等说明两线不相等。④直线z3即直线y=kx在x轴的正投影是x轴（即y=kx的定义域是x轴）而直线z2=X+iY即直线Y=kX在x轴的正投影是X=xcosθ轴（即Y=kX的定义域是X=xcosθ轴）≠x轴——说明直线Y=kX≠直线y=kx。

z面上直线y=kx即z3=x+ikx伸缩变换为直线az3=ax+iakx（伸缩系数a≠1可取无穷多正数）≠直线z3的理由：①两线各点的横坐标x 与ax不可一一对应相等说明两线不相等。②直线z3=x+ikx在x轴的正投影是x轴而直线az3=ax+iakx=X+iY在x轴的正投影是X=ax轴≠x轴——说明两线不相等。③|z3|≠|az3|，据h定理7直线z3≠直线az3。④伸缩变换是非保距变换，据h定理1直线z3≠直线az3。

同理可证直线z3=x+ikx沿本身伸缩平移成直线z′=az3+c（覆盖在直线z3上）≠直线z3，其中实常数a>0是伸缩因子，复常数c=b+ikb≠0是平移因子；显然在点z3?点az3+c中当且仅当a=1、c=0时才可有点z3?点az3+c=z3。

直线y=x即直线z4=x+ix绕点z=0反时针旋转θ角（0<θ<1350且θ≠450）成斜率为k=tan（450+θ）的直线z5=z4eiθ=（x+ix）（cosθ+isinθ）=x（cosθ-sinθ）+ix（sinθ+cosθ）=X+iY，Y=kX（保距变换）。直线y=x各点的高度均由y=x变为y=kx生成直线y=kx（不保距变换）在x轴的正投影是x轴，而直线Y=kX在x轴的正投影是X=x（cosθ-sinθ）轴≠x轴——说明直线y=kx≠直线Y=kX；据h定理1或h定理7 也得此结论。

可见z面上过位置z=0且斜率为k的直线有无穷多条，而中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线y=kx即z3=x+ikx，且将无穷多各异直线误为同一线：直线z3。同样...——说明已知直线全体仅是直线全体的沧海一粟。

c是非0实常数，直线L1：y（x）=kx（k≠0）沿本身保距平移变为元为点（X，Y）的直线L2：

y+c=kx+k（c/k）=k（x+c/k）即Y=kX

叠压在L1上。L1≠L2的理由：①L1在x轴的正投影是x轴而L2在x轴的正投影是X=x+c/k轴≠x轴。②两线各点的纵坐标y与Y=y+c不可一一对应相等说明两线不相等，虽然两线有无穷多公共点即相应的两个二元一次方程组成的联立方程组有无穷多组解。其余理由略。

6 结束语

错误的基础教育会使受教育者打歪成才的基础。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造几千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从以井代天的“井底”误区一下子跃出从而不再被蒙在“井”里。目光太短浅、视野太狭窄的井底数学一直被无穷对象的假象迷惑从而将违反几何、集合起码常识的假无穷集误为无穷集，“井”外数学才能用无穷大整数定量描述真正无穷集有多少个元，才能看到各固定射线均有固定长度从而应有表示其长度的无穷大数。详论见[5]。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言：21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[6]”。

备注：已对本文采取法律公证等法律保护措施。

【参考文献】

[1]李绪蓉.朱梧槚传[M].北京：清华大学出版社，2014.

[2]朱梧槚，肖奚安，杜国平，宫宁生.关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J].南京邮电大学学报：自然版，2006（6）.

[3]黄小宁.数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J].科技视界，2015（32）：5.

[4]黄小宁.极限论总极难学真因：人有抵制思想混乱学说本能——为伟大科学家远超后人地使用无穷数光辉实践正名[J].科技信息，2010（33）：61.

[5]黄小宁.著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J].科技视界，2014（10）：70.

[6]王前.探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M].福州：福建教育出版社，1996：188.

[7]黄小宁.两集相等概念推翻百年集论和几百年函数“常识”——课本重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J].数学学习与研究，2015（3）：117.

[8]黄小宁.课本一系列重大根本错误：将两异图形（数列）误为同一图形（数列）——书中x轴确如朱梧槚等4位数学家所说“是自相矛盾的非集”[J].科技视界，2015（3）：332.

[责任编辑：汤静]