从不定积分的计算谈数学思想方法的教学

邢巧芳，孙铭娟

从不定积分的计算谈数学思想方法的教学

邢巧芳，孙铭娟

不定积分的计算是一元函数积分学里的核心问题.不定积分的计算是非常灵活的，除了可以根据基本积分表中的公式求解外，利用微分和不定积分之间的互逆关系，根据复合函数的求导运算法则和乘积函数的求导运算法则还建立了求不定积分的2类重要的方法，即换元积分法和分部积分法.同时在微分学中的求导法则中，还有关于反函数的求导法则.

基于不定积分与微分的关系，一个自然的问题是：反函数与原函数的不定积分之间是否也存在某种内在的规律.

1 反函数的不定积分公式

为了探索反函数与原函数的不定积分之间的规律，可以借助三角函数与反三角函数互为反函数的关系进行研究.

令y=arcsinx是函数x=siny在对应区间上的反函数，则

同理，按照分部积分法，可得

由式（1）和式（2），不难得到

式（3）中反应出的规律是否具有一般性，不妨大胆猜测，小心求证，假设式（3）具有一般性，则可形成如下结论：

结论 设x=f(y)的反函数为，记，则

利用式（4），可以直接得到一些反函数的积分.

例1 取x=tany，其反函数为y=arctanx.，经计算可得F(arctanx)=0.5ln(1+x2)+C，则

例2x=ey是y=lnx的反函数，且

2 高等数学中特殊化思想

从一个特殊的反函数不定积分的计算，探讨了互为反函数的2个函数不定积分之间的内在联系，得出了一般性结论，利用该结论计算了一些反函数的不定积分.概括地讲，即对于某个一般性的数学问题，如果一时难以直……