从一道瑕积分题引发的思考

崔菊连 刘大莲

【摘 要】本文从一道例题出发，从多个角度阐述间断点、无穷间断点和瑕点的区别。

【关键词】间断点;无穷间断点;瑕点

引言

在瑕积分的教学过程中，一道例题lnxdx的出现，引发了学生们的争论。

由于讲瑕积分之前，我先讲了瑕点的定义，并对照无穷间断点的特征，得出了结论：无穷间断点一定是瑕点。

在给出这个积分时，我先让他们判断这个积分是定积分还是瑕积分，得到异口同声的答复：瑕积分。原因：x=0是瑕点。理由：f（x）=-∞。

但当我给出下面这道选择题时，教室里开始沉默。

题：x=0是被积函数y=lnx的（   ）

A.无穷间断点;B.瑕点;C.既是瑕点又是无穷间断点;D.都不是

绝大部分同学选C，有个别同学选了B。

选B的学生提出来一个问题，x=0不是被积函数y=lnx的间断点，怎么可能是无穷间断点呢？

选C的同学立刻反对。怎么不是间断点呢？函数y=lnx在点x=0有定义吗？没有吧。所以x=0就是间断点。又因f（x）=-∞，所以x=0是被积函数y=lnx的无穷间断点。

为了解决这些问题，本文将针对间断点、无穷间断点、瑕点这几个概念，从定义，图形、例题等方面进行阐述。本文使用的定义以同济大学数学系出版的《高等数学》（第六版上册）为蓝本。

一、间断点的理解

1.间断点的定义

函数f（x）在x0的某去心邻域内有定义。如果函数f（x）有下列三种情形之一：

（1）在x=x0处没有定义;（2）在x=x0处有定义，但f（x）不存在;（3）在x=x0处有定义，且f（x）存在，但f（x）≠f（x）

则函数f（x）在点x=x0处不连续，而x0称为函数f（x）的间断点，也称不连续点。

书上将间断点分为四种类型：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和震荡间断点。……