硕士研究生课程教学方法的探索与实践
——数学专业《常微分方程定性理论》教学方法初探

朱　捷，徐秀艳，杜　红，王新霞，冯玉铁

（黑龙江科技大学，黑龙江哈尔滨150022）

硕士研究生课程教学方法的探索与实践
——数学专业《常微分方程定性理论》教学方法初探

朱捷，徐秀艳，杜红，王新霞，冯玉铁

（黑龙江科技大学，黑龙江哈尔滨150022）

数学硕士研究生课程的教学中普遍存在着单向传授，被动接受的弊端。文章针对数学专业《常微分方程定性理论》课程的教学内容，采取案例教学、研讨教学、专题研究等方式，培养学生的自主学习能力、探究能力、写作能力及团队协作能力，提升研究生的应用、研究与创新能力。

硕士研究生；常微分方程定性理论；教学方法

目前，我国硕士培养的教学方式中的主要问题是讲授法统治着整个课堂。虽然，课堂讲授是培养人才不可取代的重要手段，但是，课堂讲授以重视知识的继承，单向传授知识为主而忽视了知识获取的方法和创新，从而忽视了培养学生的反思能力、实践能力、行动研究能力。因此，为使研究生教育更好地适应我国经济社会的发展，努力造就一流科学家和科技领军人才，培养一线创新实践人才，应该创新课堂教学方法。课程的内容虽由学科的需要设定，然而授课的形式则应服务于内容。针对不同的课程、学生的不同需求，应采用教师主导学生主体的多样化课堂教学方式，将课堂讲授与课堂讨论、案例教学、模拟教学、教育调查、课例研究、现场研究、团队学习等教学方法有机结合，形成多元化的课堂教学形式。例如，基础内容以教师讲解为主；个别内容采用讲授和讨论相结合的方式；部分内容采用以学生为主的讨论式教学模式；部分内容则采用问答式教学模式。通过学生的积极参与，达到促使学生最大效率获取知识的目的。

基于上述硕士研究生教学方式的有关问题，我们认为教学方式的多样化可以从以下几方面考虑，并且针对数学硕士专业课程《常微分方程定性理论》的部分教学内容进行举例说明。

一、强化案例教学

案例式教学法是指结合来自于实际或具有高度仿真性的案例，使学生融于现实事件、问题、活动的情境中，通过对现实事件、问题、活动的诸多方面因素、模型的关系及发展过程的研究、讨论，提高实际分析、解决问题的能力，重视双向交流、鼓励学生独立思考、变注重知识为注重能力。

在《常微分方程定性理论》课程讲授过程中要不断结合具体模型，针对不同的模型表达形式、不同的参数、不同参数取值范围来讨论系统的性质。在一维常微分方程单参数分支中讨论了几种典型的分支类型：鞍结点分支，跨临界分子，干草叉分支，复合分支。在二维常微分方程单参数分支中讨论了几种典型的分支：极限环、同宿环、异宿环、HOPF分支等。我们再具体讲授过程中可以结合果蝇模型、磁浮轴承JEFFCOTT转子模型、Kaldor-Kalecki商业周期模型讨论分析它们的分支类型。具体教学单元方法应用为：（1）基础理论知识——采用导入式教学模式，从实际问题出发，通过分析问题的原因和根源，导出该问题所涉及的理论机理，并演示其解决问题的途径；（2）实际案例——采用案例教学法，选取“实际案例”中的典型案例，通过案例剖析、视频在线的方法让学生真实体验实际案例的研究过程和结果，让学生“零距离”接触真实的研究项目；（3）模拟案例—采用情景—任务教学法，首先为学生设定好模拟案例环节的学习情景，学生按学习情景完成学习任务后，再给学生下达研究任务，借助教师的在研项目让学生以真实问题为背景，进行具体项目相关内容的研究，根据学生的研究成果判断其学习效果。

二、倡导研讨教学

研讨式教学方法也被称为研究探讨式教学，也可以被称为自由探讨式教学，它主要是相对传授知识为主的讲授教学。研讨教学一般是按照规定的教学目标，把握教学重点，制定学习范围，围绕某一主题展幵。研讨式教学主要用来激发学生学习的积极性，帮助他们提高分析和解决问题的能力，这种教学方式对解决硕士学习时间短而学习内容相对较多的矛盾起到重要作用，使得学生在较短时间内对某一问题有较深刻的认识，起到了事半功倍的效果。

在《常微分方程定性理论》课程讲授时，我们采用将整个课堂教学过程分为三阶段。第一阶段是预备知识、基本概念掌握阶段，在此阶段，教师主讲，每堂课首先根据身边的学习生活中的应用实例，提出一些简单的基本问题，教师进行基本内容讲解，然后学生根据讲解的内容，将前面提出的问题给予一定的解答，做到学生带着问题来掌握基本概念，达到激发学生学习兴趣的目的。第二阶段是掌握分析问题的“钥匙”阶段，基本原理掌握阶段。在此阶段，教师仍然主讲，但是学生参与加重，每次下课前，将实际科研工作中具体问题提出来，让学生课下进行思考和查阅文献。下次课学生首先进行讨论，然后教师归纳，将基本的原理知识进行系统的、要点的讲解，将课堂灌输的封闭型教学模式，转变为学生参与模式，使学生真正掌握最基本的理论；教师在讲解中特别注重解答思路的逻辑层次、注重对比分析问题方式的运用、注重学生所熟悉的实际应用例子来说明、注重常微分方程定性理论的思维主线。第三阶段是钥匙运用阶段，具体分为产生问题、综合分析阶段。（1）发现问题阶段，设计在稳定性基本理论的教学模块进行，在此阶段以实际应用例子的具体模型为导向，引导学生思维，引导学生自己发现问题，研究解答问题；鼓励学生自主学习和自主探究，勇于创新。（2）综合运用分析阶段，设计在系统稳定性与Hoft分支的应用教学模块进行，该阶段学生主讲，将教学内容分为多个主题，课下学生分组进行内容准备，课上每组代表进行讲解，教师进行归纳、点评，特别注重引导学生通过对比、联想等方式掌握更多的知识、如何将知识灵活运用，达到课程研究的目的。

在《常微分方程定性理论》的稳定性理论章节中，从一阶非线性微分方程平衡点的李雅普诺夫稳定性开始，引入不同的具体模型：食饵—捕食系统，Kaldor-Kalecki商业周期系统，神经网络模型等分配给不同的学生，研究讨论具体的系统模型的平衡点的稳定的判定方法，分析总结系统的线性近似决定系统的稳定性问题，从而得出平衡点的稳定性理论基础：由其线性部分的系数矩阵特征值的实部的正负决定，具有负实部时系统的平衡点渐进稳定，正实部时平衡点不稳定，具有零解时为临界情形，投影到中心流行上，利用中心流行理论与规范型理论决定平衡点的稳定性。

三、鼓励专题研究

专题研究是指围绕某一教学问题，教师与学生一同进行研究。在这个过程中，主要是培养学生发现问题的能力，并且通过共同讨论来提出不同的研究结果，最后综合考量各种因素，以此获得对某一问题的深刻认识。要提高研究生的探索和研究能力，必须有实践环节的配合，否则只能停留在纸上谈兵的层面上。为了让学生能将课内学习与课外课题研究结合起来，加强研究生获取知识能力、创新能力和实践能力，在教学过程中应通过对不同学科领域的研究课题所涉及的计算内容进行讨论分析，达到使研究生的研究能力迅速提高的目的，提高学生分析问题及解决问题的能力，牢固树立理论联系实际的工程观。

在《常微分方程定性理论》中，对系统的平衡点稳定性的临界情况可以让学生展开专题性的研究——运用中心流行理论与规范型理论，针对不同的系统讨论分支问题，并进行系统的不断变形：引入单一时间滞后量，双时间滞后量，以此进行系统的全面探讨，掌握系统稳定性判定条件，分支类型，分支稳定性，分支方向等问题。

除了以上给出的教学形式外，教学形式多样化还应有许多其他较好的途径，我们仅列出了一些方案，又如专题汇报、学术沙龙、学术讲座等教学方式都可以融入到数学硕士专业课程中来，唯一的标准就是这些学习方式一定要有利于实现数学专业硕士培养的目标，有利于将他们培养成为学术型人才，又要将他们培养成为研究型人才，围绕这一目标，开展多种多样的教学活动，必定对实现硕士培养目标起到积极有效的推动作用。

［1］金玲.教育硕士培养的问题与对策研究——以湖南师范大学教育科学学院为例［D］.2012.

［2］Wei Junjie.Hopf bifurcation analysisin adelayedNicholson blowfliesequation［J］.Nonlinearanalysis，2005，60：1351-1367.

［3］Xu Xiuyan，Jiang Weihua.Singularity Analysis of Jeffcott R otor-magneticBearingwithtimeDelays［J］.AppliedMathematics，2012，4（27），419-427.

［4］徐秀艳.具双时滞的Ka ldor-Ka lecki商业周期系统的HOPF分支分析［J］.哈尔滨商业大学学报，2012，4（28），472-476.

编辑/赵卓然

朱捷（1964－），女，浙江宁波人，博士，教授，研究方向：数量遗传学。

黑龙江省学位与研究生教育教学改革研究项目（JGXM－HLJ－2014114）