再议二次根式

2016-03-16 01:47田载今
关键词:两圆根式代数式

田载今

一、二次根式

数学运算中存在着互逆关系.例如,加法与减法、乘法与除法都互为逆运算,平方运算同样也有逆运算,即开平方运算,当我们要计算一个正方形的面积时,需要先测量正方形的边长.如果边长为l,则面积S=l2,这是平方运算.当我们要制作一个给定面积的正方形时,需要先求出其边长.如果给定的面

这些性质是二次根式的运算与化简的依据.

同学们已经学习了整式和分式,其中涉及了字母及数的加、减、乘(含乘方)、除四则运算.二次根式中有开平方运算.含有开方(包括开平方、开立方、开四次方……)运算的式子,都属于根式.表示字母及数的加、减、乘(含乘方)、除、开方运算的式子,统称为代数式,整式、分式和根式皆属于代数式.

二、二次根式的运算与化简

二次根式的运算与化简不仅出现在单纯的代数式变形之中,而且还与许多实际问题有关,

例1 若两圆的面积之比为12:7,则大圆半径是小圆半径的几倍?

解:设两圆的面积分别为12a和7a(a>O).由圆面积公式S=π2,得两圆的半径分别

侧2 物体A从25m高处自由下落着地.物体B从36m高处自由下落着地,求两物体自由下落过程的时间差.

讨论:本例中用到了二次根式的减法.两个二次根式化简后根号内都是2g,后面的运算类似于合并同类项,一般地,根号内的式子相同的二次根式叫作同类二次根式.二次根式的加减法法则,即指合并同类二次根式,因此,运算时通常先把各式化简为最简根式,以便找出同类二次根式,

例3 图1中正方形ABCD和BEFG的面积分别为m和n,求长方形HFID的面积,

解:长方形HFID的长等于两个正方形的中,虽然各二次根式都已是最简二次根式了,但通常化简代数式时,要求分母中不含有根式,而此武的分母中有根式.为此。需要将式子作恒等变形,化去分母中的根式,这叫作分母有理化.具体做法为:

例3的结果表明,长方形HFID的面积等于两正方形面积之差.这一结论也能用几何图形的平移来证明.如图2,把正方形BEFC平移到AJKH的位置,电KJ=FE=GF,BJ=A B-AJ=BC-BC=CG,得长方形JBCK与CFIC的面积相等,所以长方形HFID的面积等于长方形HGCD和JBGK的面积之和,即等于正方形ABCD与AJKH的面积之差,其值为m-n.

二次根式与后面要学习的勾股定理、一元二次方程和二次函数等有密切的联系,是重要的基础知识.希望大家学好它.

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