线性四角链及四角莫比乌斯图的Kirchhoff指标

王广富，鲁玖环

（华东交通大学理学院，江西南昌330013）



线性四角链及四角莫比乌斯图的Kirchhoff指标

王广富，鲁玖环

（华东交通大学理学院，江西南昌330013）

摘要：图G的Kirchhoff指标是指图G的所有点对之间的电阻距离之和。主要研究了线性四角链及四角莫比乌斯图的Kirchhoff指标。根据拉普拉斯多项式分解定理、Kirchhoff指标和拉普拉斯特征值之间的关系以及矩阵分解定理等得到线性四角链及四角莫比乌斯图的Kirchhoff指标计算公式；最后，通过举例直接利用欧姆定律所得Kirchhoff指标对所求公式加以验证。

关键词：电阻距离；Kirchhoff指标；拉普拉斯矩阵；线性四角链；四角莫比乌斯图

1993年，Klein和Randic提出了关于图的电阻距离的概念[1]，把图G中的每条边都设为单位电阻，构造出一个电网络N，由欧姆定律，定义图G中两个顶点i和j的电阻距离rij为电网络N中i和j这两个节点之间的总电压与总电流的比值，即i和j两个节点之间的有效电阻，图G的Kirchhoff指标就是指G的各顶点之间的电阻距离之和。它的研究在各个方面都有重要意义，例如，在化学上，对Kirchhoff指标已有广泛的研究。文献[2]利用距离矩阵和电阻距离矩阵研究了四种多环的循环图：包含5长圈的5阶图，代表柏拉图多面体的Schlegel图，巴克敏斯特富勒烯同分异构体和C70同分异构体，根据它们的循环性再依照Kirchhoff指标排序；文献[3]运用福斯特定理、随机游动、叠加原理得到特定的连通图的电阻距离或Kirchhoff指标的表达式；文献[4]根据拉普拉斯谱和特征向量得到循环图的Kirchhoff指标公式。在数学上，Kirchhoff指标在图论中也占据了重要位置，但直接计算电阻距离和Kirchhoff指标还是很困难的，所以得到Kirchhoff指标公式十分必要。……