基于贝叶斯定理与洪水预报误差抬高水库汛限水位的风险分析

周如瑞，卢　迪，王本德，周惠成（.大连理工大学水利工程学院，大连 6024；　2.中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司，杭州 322）



基于贝叶斯定理与洪水预报误差抬高水库汛限水位的风险分析

周如瑞1，卢迪2※，王本德1，周惠成1
（1.大连理工大学水利工程学院，大连 116024；2.中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司，杭州 311122）

摘要：水文气象预报技术的发展为水库防洪调度动态控制汛限水位提供了可能。抬高水库汛限水位可提高水库兴利效益，但有一定防洪风险。该文基于贝叶斯定理与洪水预报误差特性，提出确定汛限水位动态控制域上限的风险分析方法。以清河水库为实例，当汛限水位动态控制域上限遭遇设计频率洪水时，该文分析在不同洪水预报误差范围内，调洪最高水位超过各设计频率特征水位的概率，并应用贝叶斯定理得出各设计频率洪水发生时遭遇不同洪水预报误差的风险。结果表明，清河水库实施预报调度方式确定的汛限水位动态控制域上限127.80 m是安全的。该文提出的风险分析方法弥补了目前预报调度方式风险分析中不能直接得知不同洪水预报误差的风险的不足，充实了水库调度风险分析的理论基础，具有一定的理论意义和实用价值，可供同类型水库参考应用。

关键词：风险；水库；洪水控制；汛限水位动态控制域上限；贝叶斯定理；洪水预报误差

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0　引　言

随着水库洪水预报水平的提高，将洪水预报信息应用于水库防洪调度方式中已经成为可能。利用洪水预报信息的水库防洪预报调度方式，是选择前期信息（如预报净雨或峰前量信息，此信息获取时间早于入库洪峰信息，更早于调洪最高水位信息）作为判断水库遭遇洪水的量级和改变泄流量的指标，采取提前均匀泄流，达到降低调洪最高水位的目的[1-3]。基于此机理，采用预报调度方式可实现在保持原设计最高水位不变的前提下抬高水库汛限水位，达到增加水库洪水资源利用率的效果。目前，抬高水库汛限水位的方法已在全国尤其是北方地区调节性能较好的大型水库得到广泛应用[4-5]，该方法能够在满足原设计防洪安全的前提下，增加水能或洪水资源利用量。

然而，基于目前人类对水文现象的认识和现有的预报水平，水文预报误差是客观存在不可避免的，通过抬高水库汛限水位以提高水库兴利效益的防洪调度属于风险调度，必须回答相应的风险问题。风险分析为预报调度决策提供风险量化参考值，因而关系着汛限水位动态控制理论方法能否推广应用和发展。文献[6]以三峡水库为例，得出应用汛限水位动态控制方法可提高水资源利用率，提高发电量，并未增加防洪风险。文献[7]对复杂防洪要求条件下的水库进行多目标防洪风险分析，得出预报调度的实际风险小于常规调度。抬高汛限水位风险分析的关键问题是对显著性风险源-径流预报误差的分析与处理[8-9]。一般假定径流预报误差服从正态或P-III分布，但也有很多学者提出质疑，预报误差至少应有上限值[10]。由于极大熵原理可将常用的概率分布进行统一的变分处理[11]，且极大熵模型计算结果更符合实际洪水预报误差规律[12]，洪水预报误差分布研究已由传统经验型的正态分布和P-III分布处理转为基于极大熵的预报误差分布研究[13]。文献[14]在应用极大熵原理对误差分析的基础上，得出洪水预报分布规律及预报误差范围，定量分析洪水预报信息用于水库汛限水位实时动态控制的风险。但该研究并未推断出各设计频率洪水发生时遭遇不同误差的风险，而此风险能更加全面的反映抬高汛限水位对水库防洪风险的影响，对于水库抬高汛限水位有着至关重要的作用。

贝叶斯定理已广泛应用于各个领域，在水文中的应用开始于1970s[15-16]，主要包括水文频率分析、水文模型等方面[17-18]。应用贝叶斯定理计算风险，是考虑互斥完备事件的发生条件，并采用加权的组合概率进行风险分析，因而采用贝叶斯定理进行的风险分析比常规不考虑后验概率的计算结果更切合实际。针对单一条件下预报调度风险计算的问题，文献[19]提出将贝叶斯定理应用于降雨预报漏报风险分析，文献[20]提出将贝叶斯定理应用于风险分析，用后验概率描述汛限水位动态控制风险，证明了其合理性。

综上，本文利用极大熵原理确定洪水预报误差分布和范围的优势，吸取贝叶斯定理的思想，针对文献[14]存在的问题，在分析以净雨为判别指标的防洪预报调度主要风险源-产流预报误差分布规律的基础上，首先采用极大熵原理方法计算洪水预报误差范围，进而提出基于贝叶斯定理与预报误差特性，确定汛限水位动态控制域上限的风险分析方法。分析在不同洪水的净雨预报误差范围内，调洪最高水位超过各设计频率特征水位的概率，以及各设计频率洪水发生时遭遇不同净雨预报误差的风险，以期取得更有实用价值的成果。

1　研究方法

1.1贝叶斯定理概述

贝叶斯定理是在部分未知的不确定性信息下，先对目前的状态用主观概率估计，然后利用新信息发生概率进行修正，最后利用期望值和更为客观的修正概率决策的方法，描述了2个条件概率之间的关系[20]。假设样本空间I由互斥事件Ai(i=1,2,…,n)组成，存在另一事件B，且事件B的发生以Ai中任一事件的发生为条件。贝叶斯定理描述了B发生时Ai发生的概率与Ai发生时B发生的概率二者的联系[21]，即

式中p(Ai)为事件Ai发生的先验概率，一般情况下可根据事件主体的经验判断确定，如历史大量样本统计、极大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定；p(B|Ai)为条件概率，即事件Ai发生条件下B发生的概率；p(B)⋅p(B|Ai)为事件B和互斥事件Ai同时发生的概率；p(B)表示全概率，由计算；p(Ai|B)表示后验概率。

综上，在p(B|Ai)和p(Ai)已知时，利用公式（1）可计算出其后验概率p(Ai|B)，这是贝叶斯定理的核心思想。

1.2贝叶斯定理构建考虑洪水预报误差的风险分析方法

1.2.1洪水预报误差分布描述

预报误差是不可避免的，其分布特性对水库及上下游的防洪安全有重要影响。必须先得出净雨预报误差的范围并分级，求出不同量级内误差的先验概率，再进行风险计算。

首先通过水文模型确定合理的洪水预报方案，得到m场洪水的净雨预报绝对误差分布，根据实际需要将误差范围A分级为n个区间。不同量级的误差范围可分别视为一互斥事件Ai(i=1,2,…,n)，Ai构成完备样本空间I，即。统计不同量级内预报误差发生的次数mi，假定频率替代概率，可求出互斥事件Ai的先验概率p(Ai)：

由于场次洪水资料有限，无法通过概率理论直接推导出误差变量的先验分布。而极大熵原理在满足已知信息约束下，以熵最大为准则求得洪水预报误差的概率密度函数，所获得的结果是最合乎自然、偏差最小的。本文推荐极大熵原理模拟所有净雨预报误差的概率密度函数，得出各量级净雨预报误差的概率。应用洪水总量预报误差的概率密度函数解析形式如式（3）所示，其极大熵模型及推导过程具体参考文献[11,13]。

式中x为洪水预报误差，f(x)为概率密度值；λj(j=1,2,…,k)表示拉格朗日乘子，求解方法见文献[11]。

预报误差范围的确定步骤如下[22]：首先计算出净雨预报误差的平均值和标准差σx，确定初始基准区间D ∈[-5σx，+5σx]。以基准区间的0.1倍作为初始积分区间[x1,x2]，其中x1和x2代表误差值，即[x1,x2]= [0.1(-5σx)，0.1(+5σx)]，绘制积分区间[x1,x2]和基准区间[-5σx，+5σx]的误差分布曲线，比较这2个误差分布曲线上相同横坐标的纵坐标，若其差值的绝对值≤0.05%，则确定误差域为积分区间[x1,x2]上下限各乘1.2；若其差值的绝对值＞0.05%，则将积分区间[x1,x2]扩大1个基准区间重新判断，直到满足条件结束，最终取其为预报误差范围A。

1.2.2防洪风险分析

对于多年调节大型水库，因设计洪水以量控制为主，决策者在防洪调度中十分关心净雨量预报精度。本文构建基于贝叶斯定理的洪水净雨预报误差的风险分析方法，具体如下：

1）计算考虑不同量级预报误差的防洪风险，即条件概率p(Ai|B)和全概率p(B)。假定在水库防洪调度时发生各频率设计洪水的特征水位为事件B，则事件B的发生以预报调度方式调节相应频率净雨及Ai之一的发生为前提。可通过计算不同预报误差量级下，各频率设计洪水特征水位所能抵御洪水的频率，得出条件概率p(B|Ai)和全概率p(B)。不同净雨预报误差量级下水库水位超过特征水位的概率，可通过预报调度方式调节相应设计频率净雨和某一固定误差ei对应的洪水过程得到最高水位与频率关系曲线，再对曲线采用内插或者外延的方法求出。误差发生在某一区间Ai时，水库水位大于各频率设计洪水调洪最高水位Zs的概率， 采用文献[23]中提出的区间2个边界点对应的概率算术平均值计算：

2）各设计频率洪水发生时遭遇不同净雨预报误差的风险，即计算后验概率p(Ai|B)。由式（1）可得到各设计频率洪水发生时遭遇不同净雨预报误差的风险p(Ai|B)，即各特征水位发生时各量级预报误差的风险率：

p(B|Ai)给出不同预报误差量级下各频率设计洪水特征水位所能抵御洪水的频率，p(Ai|B)表明各频率设计洪水发生于某一量级预报误差的概率决策者便可根据风险大小决策相应的汛限水位动态控制上限值。

2　实例分析

2.1工程背景

清河水库位于辽宁省铁岭市清河区境内，辽河支流清河下游，地处123°52'～125°10'E、42°18'～43°02'N。水库于1958年5月开始兴建，1966年9月26日溢洪道落成，水库工程全部竣工投入使用。清河水库在辽河流域的防洪控制工程中具有极其重要的作用，水库控制流域面积2 376 km2，多年平均径流量5.08亿m3。原设计时，防洪标准按1 000 a一遇洪水设计，10 000 a一遇洪水校核。2010年除险加固后清河水库的校核防洪标准确定为10 000 a一遇，设计防洪标准为500 a一遇。水库正常蓄水位131.00 m，兴利库容6.30×108m3，设计洪水位135.10 m，校核洪水位138.06 m，总库容9.68×108m3，汛限水位127.00 m，死水位109.70 m。清河水库下游防洪任务为辽河干流20 a一遇防洪错峰任务、铁岭市清河区50 a一遇安全泄量＜5 500 m3/s，铁岭控制断面100 a一遇洪水组合流量小于铁岭堤防安全泄量6 779 m3/s要求。流域图如图1所示。

图1　清河水库流域图Fig.1　Basin map of Qinghe reservoir

清河水库以上流域多年平均降雨量约为790 mm，汛期6－9月为降雨集中期，占全年降雨量的73%左右。常发生汛期弃水，而汛后无水可蓄的情况。根据清河水库的实际运行情况可知，目前清河水库流域水雨情自动测报系统可靠；流域洪水预报精度较高，为甲级水平；洪水预报调度系统完善，水库闸门泄洪洞启闭灵活。该水库设计洪水是以量控制，降雨后可迅速做出入库净雨量预报结果，并模拟出水库调度过程。可见，清河水库研究水库预报调度方式抬高汛限水位，增加洪水资源利用是可能的。

文章采用资料为清河水库管理局提供的1964－2013 年21场洪水的实测净雨和预报净雨，包括各量级洪水，具有一定代表性。

2.2清河水库风险分析方法

洪水预报误差的分布规律依据1.2.1节中的极大熵原理，建立清河水库产流预报误差的极大熵模型。本文在计算误差概率分布时，采用样本的前3阶原点矩建立约束条件即可满足精度要求。为求得全局最优解，采用试算法确定Lagrange乘子λ1、λ2、λ3的初始范围为[−0.1，0]，λ0为[−10,10]，采用选择概率0.7、交叉概率0.7、变异概率0.2的遗传算法优化得到相应的Lagrange乘子，确定洪水预报误差的概率密度函数。然后按照1.2.1节确定产流预报误差范围，用积分的方法求区间对应的概率求出相应的先验概率。

对遭遇净雨预报误差Ai时，调洪最高水位Zsi超过各特征水位Zs的风险P(Z＞Zs|A=Ai) 可通过水位与频率关系曲线Zs～Ps内插或外延求出，然后利用式（5）可求出各频率设计洪水遭遇不同预报误差的风险。

2.3结果与分析

2.3.1基于极大熵原理的洪水预报误差特性分析

1）产流预报误差概率密度函数

根据清河水库21场洪水的实测净雨和预报净雨计算出净雨预报误差的均值x为-0.14，标准差σx为9.38。求得λ0、λ1、λ2、λ3分别为−3.1571、3.7558×10-3、−5.6811×10-3、−2.1345×10-5。将参数λ0、λ1、λ2、λ3代入式（3）可得清河水库流域产流预报误差的概率密度函数的解析表达式为

2）确定产流预报误差范围

根据2.1预报误差范围确定步骤，由清河水库净雨预报误差均值为−0.14和标准差σx为9.38，得出D∈[47.04,46.77]，取整数初始积分区间为[−5,5]，最终确定清河水库产流预报误差范围A为（mm）

A∈[-25,25]×1.2=[-30,30] 。

其中1984年8月13日的降雨量级为174.6 mm，实际径流深136.1 mm，相当于全流域10 a一遇标准洪水，预报绝对误差仅为1.5 mm。1995年7月25日的降雨量为359.8 mm，实际径流深303 mm，相当于全流域100 a一遇设计标准洪水，预报偏小误差为9.2 mm；根据清河水库的下垫面条件和洪水特征可知随着降雨量级的增大，产流系数呈增加趋势，产流预报误差减小。由此可见，预报误差极限值取30 mm满足设计量级洪水的产流预报误差要求。

3）产流预报误差概率

根据实际需要将产流预报误差范围[-30,30]划分为6个小区间，并利用式（6）积分得各个区间内产流预报误差分布的概率P(Z>Zs|A=Ai)，即为洪水预报误差分布的先验概率，如表1所示。

表1　先验概率-产流预报误差区间划分及其相应的概率Table 1　Prior probability-divisions of net rain forecast error interval and its corresponding probability

2.3.2基于贝叶斯定理的汛限水位上限风险分析

目前清河水库利用防洪预报调度方式及规则，根据文献[2]的方法确定清河水库的汛限水位动态控制范围为127.00～127.80 m，但上限127.80 m起调会有多大风险没有研究。应用3.3.1分析结果，具体计算步骤及相应结果如下：

1）绘制水位与频率关系曲线。以127.80 m为起调水位，对遭遇净雨预报误差Ai时的各设计标准的洪水进行调洪演算，得出调洪最高水位Zsi与设计洪水频率Ps的关系曲线。例如当各设计标准洪水均发生净雨预报偏小20 mm的误差时，采用防洪预报调度规则由127.80 m起调，得出各设计频率洪水调洪最高水位与频率关系曲线如图2。

图2　洪水预报误差偏小20 mm时的调洪最高水位与频率关系曲线Fig.2　Curve of highest flood water level and frequency when flood forecast error is 20 mm lower than design net rain

2）产生预报误差时各特征水位发生的概率，即条件概率。根据图2求出清河水库洪水预报误差偏小20 mm时，各调洪最高水位发生的概率和调洪最高水位超过各特征水位的风险。同理可计算遭遇其他预报误差时, 水库水位大于各特征水位的概率，如表2所示。对误差发生在某一区间Ai时，调洪最高水位大于各频率设计洪水调洪最高水位Zs的概率，采用式（4）计算，得到清河水库各量级洪水预报发生时可能发生水库水位超过特征水位的风险如表3所示。

3）求各频率设计洪水遭遇不同预报误差的风险，即后验概率。将表1误差先验概率和表3超水位风险代入式（5）即可算出后验概率-事件B发生条件下各量级洪水预报误差的风险，如表3所示。基于此结果，决策者很容易知道发生设计频率洪水时遭遇哪一量级预报误差的风险最大，发生于哪一量级预报误差风险最小，可根据风险大小决策相应的汛限水位动态控制域上限值。

表2　产生预报误差时各特征水位发生的概率Table 2　Possibilities of flood occurrence while highest water levels are lower than designed levels

表3　各量级洪水预报发生时的超水位风险和各量级洪水预报误差风险Table 3　Risks of highest water levels higher than corresponding designed levels within different flood forecast error bounds and risks of design flood frequency in different prediction error

2.3.3预报调度方式风险与原设计风险比较

通过分析风险率计算结果、本文风险分析方法与常用风险计算的比较结果，可得出预报调度方式确定的汛限水位是否安全、可行。根据式（5）、表1、表3和表4的成果，计算遭遇不同预报误差，清河水库采用防洪预报调度方式将汛限水位控制在127.80 m时，各设计标准特征水位的风险率结果见表4，原设计特征水位的设计频率列于第2列。

表4　考虑洪水预报各特征水位的风险率Table 4　Risks of each design level considering flood forecast information

由表4可知，考虑洪水预报各特征水位的风险率均低于原设计的风险率，如对于校核洪水位138.06 m,利用防洪预报调度方式抬高汛限水位为127.80 m的风险率为0.00077%，小于原设计的风险率0.01%. 说明采用洪水预报结果为判别指标抬高水库汛限水位后的防洪风险反而比原常规调度的风险要小，充分验证了清河水库实施预报调度方式确定的汛限水位是安全可行的。

2.3.4贝叶斯风险与单一条件风险结果比较

单一条件风险是现行常用的一种风险计算方法，依据P(X＞Ai)×P(Bi)计算概率描述风险，本文方法是依据贝叶斯推断的后验概率替代风险，表5列出2种方法概率计算比较，作为其安全性的评价依据。

从表5可以看出，单一条件风险计算结果小于贝叶斯计算的后验概率，且各互斥事件概率之和不等于1。这是因为单一条件风险没有考虑时间的完备性，是风险不完备条件下的计算结果；另外，P(X＞Ai)是洪水预报误差的分布概率，P(Bi)是年最大法推求的设计洪水的频率，二者相乘的合理性缺乏论证。而贝叶斯公式计算的后验概率，是考虑互斥完备事件的发生条件，并加权的组合概率，比常规不考虑后验概率的计算结果更合理，有规律且互斥事件概率之和归一，可为决策者提供安全的信息。

3　结论与讨论

本文在总结已有的防洪调度风险分析方法的基础上，提出基于贝叶斯定理与预报误差特性，确定汛限水位动态控制域上限的风险分析方法。通过比较分析，文中单一条件风险计算结果小于防洪预报调度的实际风险，而采用贝叶斯定理计算的后验概率是考虑洪水预报误差和调度风险相关性的防洪预报调度风险分析方法，经过在清河水库的验证，是合理可行的。

本文提出基于贝叶斯定理与洪水预报误差特性，确定汛限水位动态控制域上限的风险分析方法，可推断出各预报设计频率洪水发生时遭遇不同预报误差的风险。应用此方法证明清河水库实施预报调度方式确定的汛限水位动态控制域上限127.80 m是安全的。

本文研究方法具有理论意义和实用价值，可为同类大型水库确定汛限水位动态控制域上限的风险分析提供参考。文章已研究确定单个水库汛限水位动态控制域上限的风险分析方法，为汛限水位动态控制理论的发展提供理论支持。下一步的研究可从确定可利用的预报信息预见期、复杂库群预报调度风险计算、实用的风险评价指标体系3个关键问题展开：

1）当降雨预报或洪水预报预见期延长，可结合本文抬高汛限水位的风险方法，分析不同预报预见期、不同预报误差范围下抬高汛限水位的风险，从而确定预报信息的可利用预见期。

2）当并联或串联水库群抬高汛限水位时，预报调度风险源不唯一，包括各水库入流的预报误差，区间入流预报误差。在建立误差联合概率分布后，贝叶斯计算条件更复杂，风险计算值需深入研究。

3）一般风险分析方法都是只考虑单一因素或者几个因素，缺乏对评价指标体系构建的科学合理性分析，造成风险分析的结论缺乏客观实用性。今后应建立基于贝叶斯定理的，适应水库汛限水位动态控制的完整风险评价体系。

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·农业信息与电气技术·

Risk analysis of raising reservoir flood limited water level based on Bayes theorem and flood forecast error

Zhou Rurui1, Lu Di2※, Wang Bende1, Zhou Huicheng1
(1. School of Hydraulic Engineering , Dalian University of Technology, DaLian 116024,China;
2. PowerChina Huadong Engineering Corporation Limited, Hangzhou 311122, China)

Abstract:The development of hydrometeorological forecast technology offers important opportunities for reservoir dynamic control of flood limited water level. Economic benefits can be improved by raising the flood limited water level, but there is certain flood control risk. The purpose of this study was to propose a risk analysis method of upper bound of dynamic control of flood limited water level in order to provide the support for the development of dynamic control of flood limited water level. The proposed risk analysis method was based on Bayes theorem and flood forecast error characteristics. Qinghe reservoir, located in the northeast of China, was taken as an example. 21 flood events of actual and forecast runoff from the year 1964 to 2013 were used. For large reservoirs that has the ability for multi-year regulation, decision makers of flood control operation concern a lot about runoff forecast accuracy because the design flood is controlled by the flood volume. First, maximum entropy method was selected to simulate the runoff prediction error probability density function of 21 flood events, also forecast error range was calculated. According to the actual need of runoff forecast error in Qinghe reservoir, the range was divided into 6 zones, and distribution probabilities of runoff forecast errors in each zone, namely the prior probability distributions of flood forecasting errors were obtained by integrating the density function. Then, the probabilities of the highest water levels being higher than corresponding designed levels within different flood forecast error bounds were studied, and the risks of different flood forecast errors were inferred by Bayes theorem when the highest water level in flood regulation met with the design flood frequency. Based on the risk analysis method, risks of each design water level considering flood forecast information were compared with risks of conventional mode. The proposed risk analysis method of upper bound of dynamic control of flood limited water level was compared with the conventional mode risk calculation results, which could be concluded that upper bound of dynamic control of flood limited water level considering forecast errors was safe and feasible. The risk method of single condition calculation was compared with Bayesian risk, which could be concluded that the proposed method was reasonable. The results showed that for the design flood level of 138.06 m, the risk rate of raising the flood limited water level as 127.80 m for flood forecast operation was 0.00077%, smaller than the original design risk rate (0.01%). It demonstrated that the risk of taking flood forecast results as discriminant index to raise the reservoir flood control level was smaller than the original routine operation risk. It was also fully proved that the Qinghe reservoir forecast operation mode used to determine the water level of reservoir flood control was safe and feasible. The upper bound of dynamic control of flood limited water level 127.80 m according to forecast operation mode in Qinghe reservoir is safe. The calculation results of single condition risk were smaller than the Bayesian posterior probability calculation, and the sum probability of mutually exclusive events was not equal to 1. Because the single condition of the completeness of time was irrespective, and the risk was calculated under the condition of incomplete calculation results. In addition, the distribution probability of flood forecast error multiplying the design flood frequency was lack of rationality. Using Bayesian formula to calculate the posterior probability had not only considered the conditions of mutually and complete event occurrence, but also combined the weighted probability, which was more reasonable than conventional irrespective of the posteriori probability calculation results. Above all, the proposed risk analysis method has certain theoretical meaning and practical value, and it can be used as the reference of the same type reservoir.

Keywords:risks; reservoirs; flood control; upper bound of dynamic control of flood limited water level；Bayes theorem；flood forecast error

作者简介：周如瑞，女，河南南阳，博士生，主要从事水文水资源方向的研究。大连大连理工大学水利工程学院，116024。Email：zhoururui@126.com※通信作者：卢迪，男，吉林省永吉县，工程师，博士，主要从事水文水资源方向的研究。杭州中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司，311122。Email：ludi_dlut@aliyun.com

基金项目：国家自然科学基金资助项目（51279021）

收稿日期：2015-09-07

修订日期：2015-12-10

中图分类号：P731.34

文献标志码：A

文章编号：1002-6819(2016)-03-0135-07

doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.019