关于两个三角函数平均的不等式

何灯，李云杰，郭晓辉

（1．全国不等式研究会，浙江海宁314400；2.福清第三中学，福建福清350315；3.福清元樵中学，福建福清350313）



关于两个三角函数平均的不等式

何灯1，李云杰2，郭晓辉3

（1．全国不等式研究会，浙江海宁314400；2.福清第三中学，福建福清350315；3.福清元樵中学，福建福清350313）

摘要：研究两个三角函数平均与算术平均之间的比较，建立了若干不等式，针对类似的两个双曲函数平均提出了一个待解决的问题。

关键词：三角函数；平均；不等式；Hadamard不等式

当a=b时，有

并给出基本结果

利用凸函数理论，文献［2］证明了Msin（a，b）在［0，π/2］2上为Schur凹函数，Mtan（a，b）在［0，π/2）2上为Schur凸函数，并由此建立了如下不等式链

本文进一步研究上述两个三角平均与算术平均之间的比较，并由此建立了一系列的不等式。本文主要结论的证明需要以下引理。

1　引理

引理1［3］（Hadamard不等式）设x）是区间［a，b］上的凸函数，则对于，有

引理2［4］设x∈［0，π/2］，则有

2主要结果及证明

定理1设a，b∈［0，π/2），α≥π/4，β≤1/2，则

证明由式（3），只需证明α=π/4及β=1/2的情形。

注意到F（a，b）=F（b，a），不妨设a＞b。计算得

其中

通过三角恒等变形可得

综上，欲证F（a，b）≥0，只需证明F4（a，b）≥0，其中

据引理2，有F4（a，b）≥0，则F（a，b）≥0，从而式（4）左端成立。

，记算得

其中

计算得

从而

又

由定理1可得以下推论：

推论1设a，b∈［0，π/2），则

推论2设a，b∈［0，π/2），则

3一个待解决的问题

类似于式（1）、（2），文献［5］定义了如下两个关于双曲函数的平均，当a≠b时，有

当a=b时，有

证得Msh（a，b）在［0，+∞）2上为Schur凸函数，Mth（a，b）在［0，+∞）2上为Schur凹函数，并建立了如下不等式链

类似于式（4），笔者发现如下双边不等式成立

参考文献：

［1］TOADER GH, S魣NDOR J. Inequalities for general integral means［J］. Journal ofInequalities in Pure and Applied Mathematics, 2006, 7（1）: 1- 5.

［2］姜卫东.两个三角平均的Schur凸性［J］.高等数学研究, 2008, 11（2）: 46- 47.

［3］匡继昌.常用不等式［M］. 4版.济南:山东科学技术出版……