《导数及其应用》单元教学设计

安常胜

【摘要】教师在设计教学时，应有一个整体计划，要根据模块章节、关联知识、数学方法来设计教学，而不能局限在某个知识点来设计。数学课程设计要突出主线，这对于学生理解数学将是非常重要的，也有助于学生提高应用能力。本文以《导数及其应用》为例，从不同方面介绍如何总体把握课程。

【关键词】单元教学设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0182-02

“单元教学设计”就是根据整套教材的结构体系和课程标准的要求，从模块章节、关联知识、数学方法等角度出发，按照数学分析、课标分析、学生分析、教材分析、重难点分析、教学安排等方面，对相关内容或方法优化整合，形成完整、总体的教学设计。“单元教学设计”体现整体性、相关性、阶梯性、综合性的基本要求。实现教师整体把握高中数学课程，不断开拓视野和提高教学能力。例如，高中数学教材中所涉及到的垂直关系、函数单调性、常用逻辑用语等，都可作为一个“单元”，教师从不同角度和层次进行教学设计。这种系统教学设计的方法，既帮助了教师整体把握章和单元的教学内容与教学形式，也更方便学习者理清知识点之间的关系，形成体系更加完整、结构更加坚固的知识结构。根据单元教学设计的理念，结合教学实际，对人教版选修2-2《导数及其应用》本章为单元，浅谈如何整体把握和实施教学过程。

一、单元教学目标

1.了解微积分概念的实际背景和几何意义，能够利用微积分解决简单与函数性质有关的问题和某些实际问题。

2.通过丰富的实际背景创设情境，教学中重现新概念的背景、产生、发展、完善的过程，呈现数学的本来面目。通过学习微积分，体会从局部到整体，再由整体到局部的思想方法，学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。

3.通过数学文化的学习，可以使学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，并从中受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识。

二、要素分析

1.数学分析

《导数及其应用》在整个高中数学教材中占有非常重要的地位和作用。它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。

2.标准分析

《导数及其应用》内容要求注重对导数本质的认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。

3.学生分析

（1）学习水平分析：学生学习水平和能力比较好。

（2）知识储备分析：学生已经学习函数的相关性质，而且能够利用性质解决一些函数综合性问题，但学生没有学习数列的极限、函数的极限、函数的连续性等知识的基础上具体、直观的认识微积分的数学思想。

4.重难点分析

教学重点：导数概念的建立及其几何意义；简单函数的导数运算；利用导数研究函数的单调性，极值、最值等性质。

教学难点：在没有极限的条件下建立导数的概念；体会极限意义下的数学与精确意义下的数学的区别和联系；利用导数研究函数的性质；微积分基本定理。

5.考点分析

函数与导数应用客观题主要考察导数的计算；导数的几何意义；单调区间、极值、最值的求解；分段函数、函数定义域、函数性质、函数图像与变换、函数零点；已知函数的单调性、最值、极值等求参数的取值范围以及与不等式的综合应用；定积分的运算；利用定积分求平面图形的面积。函数与导数解答题，主要考查单调性、极值点、导数公式与运算、函数方程的思想，灵活运用导数分析问题、解决问题的能力。以导数的综合应用为主，函数、方程、不等式、曲线切线等综合命题。

6.教学方式分析

应用现代教育技术，通过实例分析法、探究式教学法、直观教学法进行教学设计。

三、教学流程设计

四、典型案例设计（重点教学设计）1.5.2汽车行驶的路程

创设情境

问题1：汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S=vt.如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v（t）=0.6（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？

学生活动：通过确定汽车以速度v作匀速直线运动的路程，利用速度--时间函数图像发现路程的几何意义，其几何意义就是： t=0， t=1，v=0，v=0.6所围成的图形面积。

问题2：如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度v（t）=0.6 t（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？

学生活动：根据物理知识，确定汽车在这段时间内行驶的路程，结合速度—时间函数图像发现由t=0， t=1，v=0，v= 0.6 t所围成的图形面积在数值上与汽车行驶路程的关系，进一步明确路程的几何意义是对应图形的面积。

分析：通过探究1、2发现路程的几何意义，为探究3汽车作变速运动时，其路程的确定问题化归到曲边梯形面积的方法上。

新课探究

问题3：如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为（单位：km/h），那么它在0≤t≤1（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？

分析：利用问题1、2得到路程s的几何意义，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.所以与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题.把区间分成n个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）。

五、反思与改进

1. 理解课程标准的要求，把握课堂教学主线——逼近思想、以直代曲思想、数形结合思想。

2. 寓德教学于数学教学之中。激发学生的学习兴趣，培养民族责任感，激发学生的热情，树立为振兴中华，开创未来的崇高理想和为科学献身的远大志向。

3. 在教学中传授给学生知识的过程中，应培养学生自主学习的能力和思维品质。

参考文献：

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本文为甘肃省教育科学规划“十二五”立项课题（GS[2014]GHB1076）的阶段性成果。