加权马尔科夫链模型在农业灌溉用水预测中的应用研究

王 鑫 东

(辽宁省江河流域管理局，沈阳 110003)

0 引 言

当前，水资源日趋紧张，对于区域水资源供需平衡而言，农业灌溉用水占据较为重要的比重。目前，在最严格的水资源管理制度下，需要对农业灌溉用水进行规划和设计，保证水资源的可持续利用。而合理规划农业灌溉用水的前提是需要对灌溉用水进行预测，在预测的基础上进行合理规划。对于农业灌溉用水预测，主要分为两种方式，一种是基于长系列的数据进行统计分析，第二种是采用数学模型方法进行预测分析，第一种方法由于区域灌溉用水数据较少，在区域农业灌溉用水预测研究较少。第二种方法由于较为明晰的数学原理，被国内学者运用于农业灌溉用水预测的研究中，并取得一定研究成果[1-5]，但在这些模型中，运用加权马尔科夫链模型进行农业灌溉用水预测进行研究较少，而加权马尔科夫链模型可考虑中间过程状态的影响，在水资源其他领域得到一定程度运用，效果较好[6-8]，为此，本文引入加权马尔科夫链模型，对农业灌区灌溉用水进行预测和分析，研究成果可对区域农业灌溉用水预测提供参考价值。

1 加权马尔科夫链模型原理

加权马尔科夫链先计算一组随机变量序列{x,t∈T}为随机生成的一组随机序列，在随机序列中：

{T={0,1,2,…,K}

(1)

对于任意时间变量t≥0以及随机变量的状态值j,i0,i1,i2,i3,…,it-1,it∈E。都代表

P={Xt+1=j|X0=i0,X1=i1,…,Xi=it}

(2)

则表示{x,t,∈T}为马尔科夫链。通过马尔科夫链的表达式可以看出，马尔科夫链表示的系统含义是t+s时刻变量的一个状态值只和前个t时刻的状态相关，而和t时刻以前的状态无任何关联。

传统的马尔科夫链未能考虑各个变量因子之间的权重系数，在收敛计算时存在收敛异常的情况。为此本文引入改进的马尔科夫链，改进的马尔科夫链主要是通过建立各个因子不同的转移概率权重，利用标准化的各因子的自相关系数作为转移概率权重，将变量的某一个时刻的状态转移概率进行加权，以加权后的概率作为变量在某个时刻的预测值。从而预测该变量标准化因子所处在的变量值。改进的马尔科夫链变量的径流预测的主要步骤为：

(1)通过建立各个变量因子的不同等级的标准以及各因子变化转移的概率系数。采用标准方差法进行不同等级的标准化。通过这种方法来确定径流预测不同时刻的状态值。因为需要计算不同等级下的各因子的变化转移的权重系数。需要对各个因子的概率权重系数进行相关计算。

(2)各因子不同相关系数及标准。通过对各个影响因子进行相关系数的计算，相关系数计算公式为：

(3)

对各个变量因子进行标准化处理，标准化处理公式为：

(4)

式中：m代表的物理意义为模型预测计算的最大因子数。

(3)结合前面两个步骤中不同时刻的计算值作为初始的状态值，对应各个变量的转移概率加权权重系数，可以推算出下个时刻不同的状态变量值，其中K表示的模型计算时段的步长(本文选用年、月)两个时间步长。

(4)将处在同一个时间变量的状态预测值和各个因子的权重进行叠加计算，可以表示某个变量在该状态下的概率预测值，表达式为：

(5)

该时刻的计算最大概率值表示预测时刻对应下的状态值。

(5)基于模糊数学的理论，将各个状态变量不同权重系数可以得到各因子的权重矩阵wi，则可以得到年径流的预测值，表达式为：

(6)

式中：T和B分别表示的变量状态的上下边界。

(6)结合改进的马尔科夫链的游历和方程稳定的特点，可以计算不同状态的变量概率值。

2 模拟结果分析

2.1 年灌溉水量预测结果对比分析

基于加权前后的马尔科夫链模型对辽宁某灌区2000-2010年农业灌溉用水进行预测，并和调查区域灌溉水量进行对比分析。模拟结果见表1和图1。

表1 加权前后马尔科夫链模型模拟在区域年农业灌溉用水预测精度对比Tab.1 The comparative simulation irrigations between the improved Markov chain model and Markov chain model in the year scale

图1 加权前后马尔科夫链模型的农业灌溉用水预测与调查灌溉水量年相关图Fig.1 The compares of the forecast accuracy by Improved Markov chain model and Markov chain model in the year scale

从表1中可以看出，加权后的马尔科夫链模型模拟的灌区2000-2010年灌溉用水预测值和调查的灌溉用水预测值相对误差在-6.74%～9.80%之间，相对误差的均值为7.83%，而传统马尔科夫链模型预测值和调查的灌溉用水量之间的相对误差在9.85%～15.73%之间，相对误差均值为13.6%，可见，加权后的马尔科夫链模型农业灌溉用水预测精度较好，明显好于未加权的马尔科夫链模型，加权后的马尔科夫链模型预测相对误差小于10%，具有较好的精度。从图1中可以看出，加权后的马尔科夫链模型农业灌溉用水值和调查值具有较好的相关系数，相关系数达到0.7以上，综上，可见，加权后的马尔科夫链模型可用于区域农业灌溉用水预测。

2.2 月农业灌溉水量预测结果对比分析

农业灌溉用水在各个月份的值均不同，为此，基于加权前后的马尔科夫链模型分别对辽宁某灌区2000-2010年农业灌溉用水进行预测，并和调查区域灌溉水量进行对比分析。模拟结果见表2和图2。

表2 加权前后马尔科夫链模型模拟在区域年农业灌溉用水预测精度对比Tab.2 The comparative simulation irrigations between the improved Markov chain model and Markov chain model in the month scale

图2 加权前后马尔科夫链模型的农业灌溉用水预测与调查灌溉水量月相关图Fig.2 The compares of the forecast accuracy by Improved Markov chain model and Markov chain model in the month scale

从表2中可以看出，加权后的马尔科夫链模型模拟的灌区2000-2010年月尺度灌溉用水预测值和调查的灌溉用水预测值相对误差在-14.02%～24.07%之间，相对误差的均值为17.9%，而传统马尔科夫链模型预测值和调查的灌溉用水量之间的相对误差在-22.92%～38.24%之间，相对误差均值为30.1%，可见，加权后的马尔科夫链模型月尺度农业灌溉用水预测精度明显好于未加权的马尔科夫链模型，但是在月尺度上，加权后的马尔科夫链模型预测相对误差明显高于年尺度模拟的相对误差，这主要是因为区域灌溉水量主要为调查数据，月尺度调查数据的精度低于年尺度调查精度，因此预测相对误差较大。从图2中可以看出，在月尺度上，加权后的马尔科夫链模型农业灌溉用水值和调查值具有较好的相关系数，相关系数达到0.86以上，好于年尺度相关系数，这就是因为，加权后的马尔科夫链模型可考虑中间过程，因此在月尺度上的相关系数较好。

3 结 语

本文应用加权的马尔科夫链模型进行农业灌溉用水进行预测，并和传统马尔科夫链模型预测结果进行对比，研究取得以下结论。

(1)加权的马尔科夫链模型可用于区域农业灌溉用水预测，在年尺度和月尺度模拟精度符合规范要求，预测精度好于传统马尔科夫链模型。

(2)加权的马尔科夫链模型可考虑变量中间过程的状态，因此，在月尺度预测的灌溉用水和调查灌溉水量相关系数好于年尺度预测的相关系数。

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