寻根问源　多方探究——一道数学竞赛题的探究历程



寻根问源多方探究
——一道数学竞赛题的探究历程

江苏省常熟市浒浦高级中学(215512)殷伟康吴进

1问题提出

2(b-a)≤cosπa-cosπb.(2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题第13题)

此题虽然是一道解答题，但题干精练简洁，个性鲜明，内涵丰富，看似普通，却越探索越感到有“味道”，越能体会到命题者的匠心独具，不亏为一道魅力无穷的好题.笔者试从探索其解法入手，逐步揭开它“神秘”的面纱，并给出它的奇妙多解.

2.常规方法

对于学过导数的学生，此题的入手并不难，根据所给式子的结构特征，通过联想，可以构造函数f(x)=2x+cosπx ，利用导数研究函数的单调性进行证明.

这个证法是参考答案给出的，笔者试从学生实际认知和思维能力角度出发来思考问题，探究其解法.上述证明过程中的二阶求导对部分学生来说不易理解，能否进一步改进证法使它能更适合一般学生的“口味”.

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,π)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘

下面同证法一.

通过对原解题方法的改进，使其更贴近学生的实际思维水平，这是因为二阶求导在中学阶段并没有给出相应的实际意义，而且接触得很少，所以一般不直接去涉及这方面内容.

3三角方法

笔者在不经意间想到，上述解题方法涉及到导数知识，但在我市有不少高一学生也参加了这次高中数学联赛，他们仅学过了苏教版《必修一》和《必修四》，掌握的仅是函数、三角、向量等知识，那么他们应如何入手求解这个问题呢？笔者根据问题结论的外表形态与结构，联想相关图形(余……