平移在数学解题中的妙用——由一道中考压轴题的解法联想到

☉福建省莆田中山中学　陈荔清



平移在数学解题中的妙用——由一道中考压轴题的解法联想到

☉福建省莆田中山中学陈荔清

俗话说：“要给学生一杯水，教师要有一桶水.”但是，如果教师有了一桶水，那么倒给学生那杯水时，怎样倒不至于把水倒出杯外？就要讲教学方法，即需要教学的艺术.

现在有些老师在初中总复习时，为了对付中考的“压轴题”，成了历年全国各地中考压轴题的“搬运工”，把原题中的解答过程不假思索地抛给学生，使学生负担重，收效甚微，而且还不得要领.从这个意义上来讲，我们在数学总复习时对压轴题的解答要作一番分析和思考.凡是要给学生讲的或让学生做的题，我们教师一定要去做一遍，这样不但能提高教堂效果，而且能“教学相长”，提高自身的水平.

在数学教学中，“一题多解”能够调动学生学习的积极性.从“多解”中寻求解决问题的一般规律，让学生理清思路，掌握方法，运用它来“举一反三”，解决其他类似问题，这才是我们要求的目标.

题目已知线段OA⊥OB，点C为OB的中点，D为线段OA上一点，连接AC、BD交于点P.

图1

图2

图3

解答过程：问题（1）是特殊位置验证，笔者用以下两种较通俗方法证明.

方法一：如图4，中线倍长：过点A作AH⊥AD交BD延长线于点H.

证△ADH≌△ODB，得BO=AH.

因为BO⊥AO，所以AH∥BO.

图4

图5

方法二：如图5，过点C作CG∥AO交BD于点G，

因为AD=OD，

思路点拨：本题所要求的结论是线段比值，问题一定要转化为相似或平行线分线段定理，以下用6种方法解答问题（2）.

方法一：设AD=a，则AO=BO=4a.如图6，过点A作AH∥BD且BH∥AO，连接CH，则四边形ADBH为平行四边形.

图6

所以△BHC∽△OCA，所以∠1=∠2.

可证△ACH为Rt△，

方法二：如图7，过点D作DF∥BO交AC于点F，

因为DO=3a，BO=4a，所以BD=5a，所以DP=a=AD，

所以∠2=∠A，

所以∠BPC=∠A，

图7

图8

方法三：如图8，过点B作BE⊥AP交AP延长线于点E，设AD=a，则AO=BO=4a，可证△BCE∽△ACO.

方法四：如图9，过点D作DF∥AC，过点C作CF∥AO 交DF于点F.

则四边形DACF为平行四边形，所以∠A=∠F.

设CF=AD=a，则BD=5a.

因为DP=CF=a，

所以四边形DPCF为等腰梯形.

所以∠F=∠PDF，∠BPC=∠PDF.

图9

图10

方法五：如图10，过点C作CF∥BD，且DF∥BO，

则四边形DBCF为平行四边形.

所以∠BPC=∠1.

设AD=a，则OD=3a，

所以△ADF∽△FAC，所以∠CAF=90°.

∠1=∠AFD=∠BPC.

方法六：如图11，过点D作DF∥BD，CF∥AD交DF于点F.

图11

连接BF，则四边形CFDA为平行四边形，

所以∠A=∠CFD，所以∠BCF=∠AOB=90°.

设AD=a，则BC=CO=2a，CF=AD=a，

可证△BCF∽△AOC.

所以∠A=∠FBC=∠CFD，∠BFC=∠ACO.

所以∠BFD=∠BFC+∠CFD=∠BFC+∠FBC=90°.

本题考查的问题是平行四边形、相似三角形、三角的综合应用.运用一题多解进行全方位的展示拓展，让同学们从这精彩纷呈的解法中提高解题的兴趣.树立学好数学的信心，提升解题能力.