基于位置约束的工业机器人运动学标定*

熊　杰，杨东升，王允森，袁晓慧

(1.中国科学院大学，北京　100049 ;2.中国科学院 沈阳计算技术研究所，沈阳　110168)



基于位置约束的工业机器人运动学标定*

熊杰1,2，杨东升2，王允森1,2，袁晓慧1,2

(1.中国科学院大学，北京100049 ;2.中国科学院 沈阳计算技术研究所，沈阳110168)

摘要：鉴于标准DH方法在描述平行关节时存在问题，采用MDH方法建立机器人的运动学，提出基于末端位置约束关系建立线性方程组进行结构参数辨识的一般方法。针对方程组系数矩阵退化的问题，从运动学的雅可比矩阵入手，分析了退化的原因，为结构参数选择提供了理论依据。讨论了机器人基坐标系和测量坐标系转换的问题，设计了一种无需坐标系转换的基于十字型杆件的简易标定方法。基于matlab进行仿真后，采用该方法标定MOTOMAN-MH6机器人，标定后，按照示教器读数计算的十字型杆件长度误差从4mm降低到1mm以内，说明该方法是有效的。

关键词：位置约束；工业机器人；参数辨识

0引言

工业机器人的重复定位精度很高，但是绝对定位精度一般比较差。通常采用机器人标定技术提高其绝对定位精度。机器人标定涉及到运动学建模，位姿测量，参数辨识，误差补偿四个过程。位姿测量是标定中的一个重要过程，测量精度直接影响到标定的效果。近些年来，激光跟踪系统[1-2]越来越多的使用于位姿测量上，这种系统测量精度高，范围广，但是其造价比较昂贵。机器人视觉标定技术[3]的发展也很迅速，但是其标定的精度依赖于图像辨识算法。

为了简化测量过程，降低测量成本，提高标定效率，许多学者提出了一类基于末端位置约束的标定技术[4-9]。这一类方法是通过驱动末端到达一组满足某种几何约束的空间位置点，然后根据示教器的读数按照误差模型建立起方程组。这一类方法常见的问题是所建立的方程组系数矩阵往往是退化的，上述文献并没有明确指出并分析退化的原因。张铁等[10-11]部分地分析了基于距离误差进行标定时方程组系数矩阵退化的问题，但并没有将结论推广，而且标定过程中使用激光跟踪仪，增加了使用者的经济负担。

位置约束标定法是利用被测点之间的位置约束关系，通常不需要机器人基础坐标系和测量坐标系之间的转换[12]。本文分析了基于位置约束建立的方程组的系数矩阵退化的原因，为结构参数选择提供了理论依据。在此基础上，基于距离公式和垂直关系，提出了一种简易的十字杆件标定法。

1建模

1.1运动学建模

目前应用最广泛的机器人运动学模型是DH模型，根据DH模型所建立的相邻关节之间的齐次变换矩阵为：

Ai=Rotz(θi)Tranz(di)Tranx(ai)Rotx(αi)

(1)

其中θi表示关节旋转，di为连杆长度，ai为关节偏移，αi为连杆扭转，i=1…N，N为关节连杆的个数。当相邻关节平行或近似平行时，轴线的微小的偏移会引起连杆距离di的极大变化，此时通常使用Hayati[13]所提出的MDH模型。MDH模型在Ai中添加了绕Y轴旋转的扭角βi，即：

Ai=Rotz(θi)Tranz(di)Tranx(ai)Rotx(αi)Roty(βi)=

(2)

其中，c,s是cos,sin的简写。当相邻连杆平行或近似平行时，di=0；否则，βi=0。显然MDH模型的参数个数和DH模型是相同的，对于平行关节用βi替换掉di。如果不存在平行关节，MDH模型就退化为DH模型。确定了各关节之间的变换矩阵之后，那么按照机器人正运动学模型，其末端位姿可以表示为：

(3)

其中，θ=(θ1,…θN)，d,a,α,β同理，表示为结构参数的向量。

因为装配因素、负载因素、环境因素以及磨损变形等原因，各关节的实际参数和理论参数之间存在参数误差[Δθi,Δdi,Δai,Δαi,Δβi],i=1…N，所以机器人的实际运动学模型可以修正为：

Tr=F(θ+Δθ,d+Δd,a+Δa,α+Δα,β+Δβ)

(4)

Tr表示末端的实际位姿，T表示末端的理论位姿，那么Tr-T即可表示为末端的位姿误差。如果我们不关注姿态，只关注位置信息[px,py,pz]′，记P=f(θ,d,a,α,β)表示从正运动学中提取的位置信息，那么末端的位置误差可以表示为：

ΔP=Pr-P=

f(θ+Δθ,d+Δd,a+Δa,α+Δα,β+Δβ)-

f(θ,d,a,α,β)

(5)

在实际中参数误差是非常小的量，记Δx=[Δθ1,…ΔθN,Δd1,…ΔdN,Δa1,…ΔaN,Δα1,…ΔαN,Δβ1,…ΔβN]，那么Pr可以近似表示为：

Pr=P+JΔx

(6)

其中，J是位置运动学函数关于结构参数Δx的雅可比矩阵，即：

(7)

显然J是结构参数的函数，随着机器人运动关节的运动而变化。通过式(7)，式(6)建立了机器人理论位置和实际位置之间的联系。

1.2基于位置约束建立线性方程组

实际中，获得末端的姿态信息比较繁琐，但获得末端的位置信息相对容易。如果已知机器人工作空间中两点A和B的实际距离为Dr,AB，联系式(6)，有：

(8)

其中PA,PB表示末端位于Pr,A,Pr,B时对应的示教器读数。根据距离公式，将式(8)展开，并忽略Δx的高次项，记DAB=|PA-PB|，得：

(9)

同理，如果已知机器人工作空间中四点ABCD满足AC⊥BD，那么根据内积关系，得：

(PC+JCΔx-(PA+JAΔx))·

(PD+JDΔx-(PB+JBΔx))=0

(10)

整理，得：

((PC-PA)T(JD-JB)+(PD-PB)T(JC-JA))Δx=

(PC-PA)T(PD-PB)

(11)

基于距离关系和内积关系这两种位置约束可以构造出后文所使用的十字型杆件这样的标定工具。还可以根据其他的位置约束继续构造形如式(9)和式(11)的方程。其中，除了Δx为未知数之外，其余量均可以通过计算得到。如果采集到足够的点，根据式(9)和(11)就可以建立起A·Δx=b形式的常系数线性方程组。基于最小二乘法，该线性方程组的解为：

Δx=(ATA)-1ATb

(12)

1.3选择结构参数

在实际计算中，线性方程组的系数矩阵A是病态甚至是退化的，主要表现于：A中的某些列全部为0；A中的某些列线性相关。对于全部为0的列对应的结构参数，认为该参数对末端位置无影响，将其从Δx中去除；对于线性相关的列对应的结构参数，只保留其中一个在Δx中。接下来通过讨论末端位姿T的雅可比矩阵进行结构参数选取。

将式(2)对θi和di求偏导可得：

(13)

将式(3)对d1,θ1分别求偏导，联系式(13)，可得：

(14)

如果相邻关节是平行关节，那么di,di+1对末端位姿的影响是一致的，也就是说方程组中di,di+1对应的列线性相关，此时按照MDH模型，去除di改为辨识βi。

(15)

那么末端位姿T关于结构参数的偏导就可以简单的表示为：

(16)

根据式(15)、(16)，当i=N时，经过推导，可以得到以下结论：

(2)当aN=0,cαN-1=0,即αN-1=±90°时，可以进一步得到JαN-1=∓dNJdN-1，也就是说雅可比矩阵中关于αN-1和dN-1的列线性相关；

(3)当aN=0,cαN-1=0 即，αN-1=±90°以及aN-1=0时，进一步可得：JθN-1=±dNJaN-1。

综上所述，仅仅根据位置信息辨识结构参数时，不能够被辨识的参数如表1所示，这些参数应该从Δx中去除。

表1随着约束条件的增加不能被辨识的结构参数

表1指出了机器人构型和不能被辨识的结构参数之间的关系。可以看出，如果在末端添加末端工具时，使工具坐标系原点偏离末端坐标系的Z轴，相当于使得aN≠0，这时第N-1关节就可以多辨识两个参数。

2测量

2.1坐标系转换的问题

(17)

末端的理论位姿T可根据式(2)计算，通过示教器读出。标定时，采集到一定数量的位姿点之后，根据Tr和T之间的偏差可以计算出结构参数误差。

图1　 机器人和测量坐标系转换示意图

2.2基于十字型杆件的测量方法

该标定装置是一个十字型杆件，构造如图2所示。其中，ABCD是四个半球形的凹槽，不妨称其为标准孔，满足L=|AC|=|BD|，L是已知长度，|AC|,|BD|表示两点距离。AC和BD垂直，根据内积公式，则有AC·BD=0。在机器人末端加装长度为l的探针，探针头部的小球半径和标准孔的半径相等，在测量时，小球可以密切贴合十字型杆件的标准孔。

图2　标定工具示意图

将探针加装在机器人末端，十字型杆件放置在机器人工作空间内，驱动机器人使探头朝标准孔A运动，使探头密切贴合标准孔。记录下示教器上的关节读数和位置读数(θiA,PiA)，i表示第i组测量数据。保持十字杆件位姿不变，仿照A继续测量BCD。ABCD都测完，可收集到一组数据[(θiA,PiA),(θiB,PiB),(θiC,PiC),(θiD,PiD)]。调整十字杆件的位姿，重复上述操作。重复n次，共收集n组测量数据。n组测量数据应均匀分布在机器人工作空间内。

3参数辨识和误差补偿

3.1参数辨识

每一组测量数据中，根据十字杆件构成的位置约束，根据式(7)和(9)，得

(18)

在解方程组时采用迭代的方式求解。即每辨识出一组解之后，如果Δx大于三倍经验误差值，就选择新的测量数据重新计算，否则将Δx加到理论结构参数上，按照新的结构参数建立正运动学，根据式(6)重新计算ΔP，直到ΔP或Δx满足一定的精度时迭代停止。

3.2误差补偿和标定流程图

求解出所有能够辨识的结构参数之后，将这些参数代入到运动学模型中，对运动学模型进行修正，即可实现对机器人的静态误差补偿。根据示教器读数重新计算十字型连杆AC和BD的长度，并和AC，BD的真实值L进行比较，可以用于检查补偿后的末端精度。

基于位置约束的标定算法整体流程如图3所示。

图3涵盖了运动学标定的全部过程，包括运动学建模，位姿测量，参数辨识，和误差补偿四个阶段，是一套完整的运动学标定方案。

图3　整体标定流程图

4仿真和实验

4.1仿真

在matlab中实现上述算法。仿真过程中所使用的机器人模型为MOTOMAN-MH6，基于DH方法所建立的机器人运动学坐标系如图4，结构参数取值如表2所示，连杆长度d和关节偏移a的单位均为mm，θ的取值表示关节的初始状态。

图4　机器人运动学坐标系

关节θ(°)d(mm)a(mm)α(°)θ范围(°)100150-90(-170,170)2-900570180(-180,65)300130-90(-170,190)40-638.7090(-180,180)5000-90(-135,135)60-950180(-360,360)

从图4和表2中可以看出，该机器人第2和3关节相互平行，所以运动学模型应该采用MDH方法，此时无需辨识d2，改为辨识绕y的转角β2。因为a6=0,cα5=0,a5=0，根据表1，第5关节只能辨识两个参数，所以在末端加装探针时要注意使探头偏离第6关节的Z轴，使得aN≠0，这样就可以辨识出第5关节的全部参数和θ6。最终Δx中的结构参数为：

Δx=[Δθ2,…Δθ6,Δβ2,Δd3…Δd6,Δa1,…Δa6,Δα1,…Δα5]共21个结构参数。

按照表2所示的结构参数构造机器人理论运动学模型，然后按照表3中预设的结构误差构造实际运动学模型。因为根据MDH建模方法，不需要辨识d2，只需要辨识β2，所以表3中d2的位置上是β2的预设误差值。

表3　预设的结构参数误差(d2表示β2)

在机器人工作空间中仿照十字杆件的几何约束取18组测量数据，采用十字杆件标定法求结构参数误差Δx。为了测试算法的收敛速度，引入

(19)

图5　Δx的收敛状态图

从图5可以看出，只需要很少的几步迭代就可以收敛到最优解。σ未收敛于0的原因是因为θ1,d1,α6不能被辨识出来。解出的Δx如表4所示。

表4　求解方程组得到的结构参数误差(d2表示β2)

从表4可得，解出的Δx精度非常高，这是因为实验中数据并没有考虑测量噪声的影响。使用表4的数据修正运动学结构参数，重新计算十字型杆件中AC和BD的长度，18组测量数据共可以得到36个连杆长度。标定后计算出的杆件长度和标定前按照理论结构参数计算出的杆件长度对比示意图如图6所示。

图6　标定前和标定后计算出的杆件长度

从图6中可以看出，标定后，机器人计算连杆长度的误差从原来的6mm左右减少到几乎为0mm。这说明，标定算法是有效的。

4.2实验

实验室机器人为安川MOTOMAN-MH6，坐标系建立如图4所示，结构参数如表2所示。将十字型杆件置于机器人工作空间中，取18组测量数据。按照十字杆件标定法对机器人本体进行标定。标定后根据示教器读数计算出的十字型杆件长度和标定前的对比图如图6所示。

图7　标定前和标定后计算出的杆件长度

从图7中可以看出，实验效果比仿真效果差一些，这是因为实验中存在测量噪声的缘故。标定后，机器人计算连杆长度的误差从原来的4mm下降到了1mm以内，这说明标定算法是有效的。

5结论

机器人标定时，姿态测量相对困难，而位置测量相对容易。针对基于位置约束建立方程组进行参数辨识这一类问题，本文对其系数矩阵退化的分析是合理的，避免部分列线性相关的方法是有效的，为标定时结构参数选择提供了理论基础。

在上述理论分析的基础上，本文提出了基于位置约束的十字型杆件标定法，该方法不需要对机器人坐标系和测量坐标系进行相互转换，测量简单，经济实用，测量过程中不用移动机器人本体，可以广泛的应用于实际生产车间中。仿真说明，该方法能够辨识出机器人的实际结构参数，具有良好的实际应用价值。

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(编辑赵蓉)

The Industrial Robot Kinematics Calibration Based on the Position Constraint

XIONG Jie1,2，YANG Dong-sheng2，WANG Yun-sen1,2，YUAN Xiao-hui1,2

(1.University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049, China; 2.Shenyang Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences,Shenyang 110168, China)

Abstract：Given the standard DH method was limited to describe parallel joint, MDH method was adopted to establish the robot kinematics. Based on the end position constraint, a general method was proposed to establish the linear equations for structure parameter identification. To solve the degradation problems in the coefficient matrix of the equations, starting from the Jacobian matrix of the kinematics, the reasons for the degradation was analyzed. It was the theoretical basis to select the structural parameters. The conversion between robot base coordinate system and the measurement coordinate system was discussed and then a simple calibration method based on the cross-bar was designed without coordinate conversion. After the simulation conducted in matlab, MOTOMAN-MH6 robot was calibrated by this method. After calibration, the cross bar length error calculated under teaching readings reduced from 4mm to less than 1mm. The results show that the calibration method is effective.

Key words：position constraint; industrial robot; parameter identification

中图分类号：TH166;TG659

文献标识码：A

作者简介：熊杰(1990—)，男，河南南阳人，中国科学院大学硕士研究生，研究方向为机器人标定技术，(E-mail)xiongjiezk@163.com；杨东升(1965—)，男，中国科学院沈阳计算技术研究所研究员，博导，研究方向为数控系统，现场总线，机器人，(E-mail)dsyang@sict.ac.cn。

*基金项目：核高基专项(2012ZX01029-001-002)

收稿日期：2015-03-15；修回日期：2015-04-13

文章编号：1001-2265(2016)02-0060-05

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.02.0017