体验·内化·变式
——小学数学概念教学过程探析

许毅君

（厦门市滨北小学，福建厦门361001）

体验·内化·变式
——小学数学概念教学过程探析

许毅君

（厦门市滨北小学，福建厦门361001）

数学概念教学，应让每个学生充分经历活动体验；反思内化明晰概念，并通过变式练习深化理解，从而使概念课充满生命力。文章从丰富情境的体验中建构概念，在多元表征的交流中内化概念，在比较变式的思辩中凸显概念本质等三方面论述小学数学概念教学过程，促使学生更好理解数学概念，洞悉概念本质。

体验；建构；内化；变式；本质

2016年6月《群众》杂志记者采访了曾担任过中科院院长的路甬祥先生，在访谈中他说，“中国创造是中国制造的未来。实现中国创造，创新创业人才是关键。”无独有偶，俞正强老师也曾在一次讲座中生动地通过“概念车”“产品车”的阐释和对比，对中国制造与中国创造提出了精辟的见解。他针对小学数学教学中存在的“关注概念的记忆、辨析和运用，忽视了概念的形成过程”的教育现象，警醒我们数学教学对于培养创新人才，实现从中国制造到中国创造转变的重要性。让我们深刻地认识到数学教师需要真正从学生的想法出发，放慢教学的步伐，引领学生经历思考、困惑不解到最终认同概念的“讲道理”的学习形成过程。只有坚持这样的教学，才能让学生充分地经历概念建构从无到有，从懵懂到清晰，从清晰到以不变应万变的学习过程，才能使“学生会自然地思考并探究自己想法的合理性。”［1］

一、在丰富情境的体验中建构概念

在《中国教育如何扼杀学生的创造力》一文中，作者对中国教育弊端做出了深刻的检视，指出中国学生由于情感与知识脱节，所以他们“能够经历，但不能感受。”因此，教师如何让学生在丰富的情境中去体验，在体验中去用心感受，从而充分地经历概念的形成过程，实现概念的有效建构，是需要我们不断研究的永恒主题。

小学生渴求知识，总希望自己是新知识的探索者、研究者和发现者。他们对外在灌输的、缺乏情感驱动获取的知识，理解机械、肤浅。而基于自己发现的知识理解深刻，建构准确。对小学生来说，质数与合数概念的学习是抽象而枯燥的。如何设计直接有效的操作体验活动，激发学生学习乐趣，使学生在自主探索中建立起比较清晰的“质数与合数”概念？为此，教师设计了这样一个有趣的实验，让学生试着通过画○的方式来分别研究1、2、3、6、7、9、12各数可以摆成哪些方阵图形？学生个个积极主动，投身到用圆片摆出方阵的探索学习中。接着教师通过学生作品的展示，引导学生思考：根据不同数量圆片画出的方阵图，你能把这些数分分类吗？有的学生分成了两类：一类是只能画出一个○的数“1”；另一类是画出来的○都能摆成一行的数“2、3、6、7、9、12”。有的学生分成了三类：一类是1，只能画出一个○。第二类是2、3、7，它们画出来的○只能摆成一行。第三类是6、9、12，它们画出来的○不但能摆成一行，还能摆成长方形或正方形。每个学生在动手操作中，都对这些数的特点有了全新的认识。当教师追问：为什么2、3、7只能摆成一行？为什么6、9、12能摆成方阵图形？由于有着丰富的直观表象作为支撑，学生的发现水到渠成。有的学生说因为2=1× 2、3=1×3、7=1×7，这3个数只能写出一个乘法算式，所以它们的○只能摆成一行。而6=1×6=2×3，所以6个○就既能摆成一行，也能摆成一个方阵。9和12这两个数也是一样有这个规律。有的学生还通过观察老师刚刚写出的乘法算式，发现了2、3、7都只能写成1和它本身相乘。而6、9、12除此之外，还能写成其它两个整数相乘。善于观察思考的学生甚至发现了不同类别数的根本区别在于“因数”个数的不同，进而自然生成了质数和合数的概念……波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”确实，当教师能够将抽象静态的知识还原成具体动态的过程，并促使学生经历一次再探索而形成概念的过程时，学生就会真正感受到数学学习的乐趣。

数学概念的内涵往往是丰富的。“周长”概念就有双重意义，它既有“围绕一周”的形的本质又有“长度”的量的本质。具有丰富内涵的“周长”概念的建构，需要教师用心设计有价值的活动，引导学生经历周长是这样一个从形到数的融合过程。在教学中，让学生通过“指一指”“描一描”数学课本封面和操场一周的操作经验的积累，明晰周长“围绕一周”是指图形“一周的边线”，从而对周长形的本质有了深刻的认识。接着教师可通过让学生经历“绕一绕”“围一围”后将边线拉直的测量活动，体会到周长就是不同图形边线拉直后线段的总长。为了透彻理解周长这一个概念，还需要学生经历多维度、多层次的感悟。教师在教学中紧扣思维生长点，在关键处放慢思维的脚步，通过让学生比较将两条线段夹成的角补成不同大小和形状的封闭图形的周长，使学生体验到图形的面很大，但是围成图形的边线的长度却不一定很长。而图形的面很小，却可能由于围的图形边线弯弯曲曲地反而周长更长些。教师再通过把长方形铁丝框架拉动成平行四边形和一般四边形后三个图形边线总长的对比教学环节，让学生深刻地体会到只要边线的总长度不变，则这些不同图形的周长就不会发生变化，从而真正地明白了“形变而质不变”的道理。《周长的认识》这种触动思维内核的数学体验活动，不但让学生建构了自己的数学，还让学生感受到数学学习的乐趣和价值，提升了数学素养。

二、在多元表征的交流中内化概念

认知心理学研究表明：概念要被学生理解内化，不能仅从其形式定义出发进行机械灌输，而要围绕建立恰当的心理表征展开教学，［2］让学生经历从自我的本真语言到数学语言再到学生个性化科学的语言的螺旋上升的过程。学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中，需要用叙述性表征和描述性表征等不同形式将其想法重新表现出来以达到交流的目的，即概念表征。要使学生在头脑中科学建构数学概念，就要将概念表征与实质联结起来，做到把外显的动作过程和内隐的思维活动紧密结合起来，引导学生进行分析、综合、比较、概括，在思维碰撞、质疑争议中实现自觉纠错，达到内化概念的目的。

在教学《认识百分数》一课时，用怎样的教学思路引发学生主动思辨、自主表达，从而在思维碰撞中从懵懂走向清晰，更深刻地理解百分数概念之“部分与整体的关系”的本质？教学中笔者出示：橙汁占60%，苹果汁占45%。让学生说说这里的60%表示什么意思？接着让学生画图表示出60%。学生在汇报交流时，展示了不同的想法。有个学生用圆形涂了一半多的阴影部分来表示。笔者又问：大家觉得这幅图怎么样？学生大胆表达看法，认为他没有把圆形平均分，画得不准确。笔者再问：那要准确地表示60%，该怎样画呢？学生们及时修正了刚才不严密的理解，用不同的方式呈现并表达了自己对60%的理解。语言是思维的外壳，表达是促进知识内化的重要途径。有的学生说60%表示正方形平均分成10份，取了其中的6份。有的学生认为把一条线段平均分成5份，其中的3份也表示它的60%。通过用方形图、线段图、口头表述、分数等多种表征形式进行交流互动，不仅可以让不同个性特点、不同思维层次的孩子彰显自己的概念理解，而且不同表征之间的转译和转换亦促进学生从懵懂到清晰，最终自然内化生成了百分数的意义的建构。笔者接着引导学生比较思考不同的画图方式中的60%都是把谁看成单位“1”？是谁与谁比较的结果？如果用一个平均分成100个小方格的正方形表示饮料的总量，橙汁的含量该如何表示？学生在经历这样的自我沉淀式的对比分析和有理有据地表达之后，对百分数表示部分和整体的关系有了清晰的认识和体悟，并最终内化了知识，实现从生活数学到学科数学的通透。

三、在比较变式的思辩中凸显概念本质

变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。［3］利用变式可以激发学生不断探究和思考，让学生在变化中深刻理解概念的本质特征，感受到数学的无穷魅力，提升思维能力和创新意识。

分数是小学生数概念的一次重要扩展。由于分数不具有“可数性”，同时分数概念具有过程——对象的双重性，所以学生接受起来比较困难。为了让学生深刻把握分数的内涵，教师展开了三个层次的“变式”教学。第一个层次是改变分数概念的非本质属性，变换单位“1”的总量，让学生在对比中发现不管是4个苹果、8个梨还是12个草莓等，只要是把单位“1”平均分成4份，每份就是它的。第二个层次是“单位1”的总量不变都是8个方块，但由于平均分的份数2份、4份、8份在发生变化，则表示每一份的分数也会随着变化。并进而发现“平均分成几份，每份就是总量的几分之一”。第三个层次教师设计了“18支铅笔，你想拿出它的几分之一？为什么同样是18支铅笔，每个人拿到的支数却不相同？”的教学活动。拿铅笔游戏，激发了学生的学习热情，学生在用分数的意义表述过程中，领悟到总数不变，分数变化，每份铅笔的支数也会变化。教师根据变式教学理论所设计的三个层次，层层递进，既让学生在这多层次的变与不变之中，逐渐聚焦到部分和整体之间的关系上，不再受每份个数的干扰，又让学生在逐渐进阶的变式中剥离出概念的本质属性和非本质属性，抓住一个整体的几分之一的本质，完善了对分数本质意义的建构。在这样的教学中，学生经历了分数概念的认识逐层上升：由懵懂到清晰、由形象到抽象、由具体到深刻的飞跃，切实感悟到了数学中“变与不变”的理性思维的深刻和完美。

小学数学概念的建立是一个由表及里逐步抽象出数学概念本质的过程。教师在进行概念教学时，应让每个学生充分地经历活动体验建构概念，反思内化明晰概念，变式练习深化概念理解最终达到以不变应万变的学习过程，让课堂富有深度和生命力。

［1］俞正强.生动我们的课堂追求［J］.小学数学教师,2014（5）.

［2］熊丙章,刘丽颖.数学理解研究综述［J］.渤海大学学报（自然科学版）,2005(3).

［3］张兴华.教学大道——写给小学数学教师［M］.北京：高等教育出版社,2010.

G622.0

A

1673-9884（2016）011-0051-03

2016-10-20

许毅君（1973-），女，福建仙游人，厦门市滨北小学一级教师。