构造三角形模型求解线段最值难题

以往求解线段（线段和）的最值问题，常用的解题方法是将所求线段进行等价转换，或者通过图形变换，将所求问题变成要么求两个定点之间的距离，要么转化成定点到直线的距离.但是新近出现一些线段最值问题，尽管解决问题的依据还是一样，但是学生碰到这些问题往往束手无策，成为几何难题.笔者为此作了一些研究与总结，现与大家共享.1构造斜三角形模型

例1如图1，直角扇形ODE中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC是扇形内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE，半径OE、OD上，∠ACB=90°，AC∶BC=2∶3，求线段AC的最小值.

分析学生见到∠ACB=∠COB=90°，想到构造直角相似三角形，即作AH⊥OD于H，如图1，运用△ACH∽△COB，结果无功而返.其实，因为AC∶BC=2∶3，当AC变化时，BC也随之变换.如果抓住OA是扇形的半径这个不变量，联想直角三角形中的常用辅助线即斜边上的中线，尝试取BC的中点M，如图2，连结OM、AM，构造斜三角形AOM，运用AM+OM≥OA，当且仅当A、M、O三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解.

评注本题是属于双动点问题，难点是A、C两点都是动点，关键是找出与AC关联的两条线段OM、AM，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的.在图2中，学生可能还会想到斜三角形AOC，但是OC与AC不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要.

例2如图3，已知抛物线y=-49（x-1）（x-7）与x轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，圆C的半径为2，G为圆C上的一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）.

A.72B.352C.23D.412

分析G为圆C上的一动点，学生的直觉是当直线AG与圆C相切时，DP取到最大值，显然这是错误的.如图4，因为直……