一般矩阵特征值新的相对扰动界

孔祥强（菏泽学院数学系，山东菏泽274015）



一般矩阵特征值新的相对扰动界

孔祥强
（菏泽学院数学系，山东菏泽274015）

摘要：利用矩阵的约当分解和矩阵的Schur三角分解及矩阵的计算技巧，深入探讨了任意矩阵特征值的相对扰动问题。在矩阵特征值绝对扰动的基础上，得到了全新的任意矩阵特征值的相对扰动上界,并且所得结果推广了原有的结论。

关键词：矩阵；特征值；相对扰动上界

矩阵特征值的扰动理论，是研究矩阵在某种特定结构下，其特征值的扰动上界问题。文献［1-2］研究了矩阵特征值的乘法扰动；文献［3］研究了奇异可对角化矩阵特征值的加法扰动。本文研究非奇异一般矩阵的相对扰动上界问题，在绝对扰动上界的基础上，得到了任意矩阵特征值的相对扰动上界，所得结果是原有结论的推广。

1　几个定义和引理

定义1［4］（正规矩阵）若矩阵A∈Cn×n，满足AHA=AAH，则A为正规矩阵。若满足AH=A-1，则A为酉阵。

定义2［5］（Shur三角分解）设A∈Cn×n，则必存在酉阵U，使得UHAU=T，其中为上三角矩阵，λ1，λ2，…，λn为A的n个特征值, UH为矩阵U的共轭转置矩阵。当适当选取U时，可使T的对角线元素按任一指定顺序排列。T称为A的Shur上三角形式。

定义3［6］（矩阵的F-范数）设A∈Cn×n，令则称它为矩阵A的F-范数。

引理1［7］设A为正规矩阵，B=A+E，则存在1，2，…，n的某个排列π，使得

其中UHBU=Λ+diag（Δ1，Δ2，…，Δs），U为酉阵，Λ为由B的特征值构成与Δi的阶数相对应的对角阵，1≤s≤n，Δi（i=1，2，…，s）为严格上三角阵。

引理2［8］设A和B为任意的n×n矩阵，则存在1，2，…，n的某个排列π，使得

2　主要结果

在引理2特征值绝对扰动上界的基础上，得到了下面的相对扰动上界定理。……