一类特殊矩阵的性质

刘建明

(1.泉州师范学院 数学与计算机科学学院， 福建 泉州　362000;

2.泉州师范学院 福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室， 福建 泉州　362000;

3.泉州师范学院 智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室， 福建 泉州　362000)



一类特殊矩阵的性质

刘建明1,2,3

(1.泉州师范学院 数学与计算机科学学院， 福建 泉州362000;

2.泉州师范学院 福建省大数据管理新技术与知识工程重点实验室， 福建 泉州362000;

3.泉州师范学院 智能计算与信息处理福建省高等学校重点实验室， 福建 泉州362000)

摘要：定义并研究了O-对称矩阵，从而得到一些结论。

关键词：对称； 合同

1概念与引理

定义1[1]设m×n阶矩阵

则称如下矩阵

为A的全转置矩阵，记B=AO。

定义2[2-4]数域P上，次对角线上的元素为1，而其他位置上的元素全为0的n阶方阵称为次单位矩阵，记为Jn。

定义3设A为n阶方阵，若AO=A，则称A为O-对称矩阵。

定义4[2]设A∈Rn×n，B∈Rn×n,若存在可逆矩阵Q∈Rn×n,使得B=QTAQO,则称A与B为O-合同。

引理1[2]设A为n阶方阵,则

1)(AT)O=(AO)T;

2)(AB)O=AOBO;

3)(A-1)O=(AO)-1。

引理2[2]若A为n阶方阵，则AO=JnAJn。

引理3[2](A+B)O=AO+BO。

2主要结论与证明

命题1设A为n阶方阵，则|AO|=|A|。

证明由引理2

所以|AO|=|A|。

命题2设A为n阶方阵，则A+AO是O-对称矩阵。

证明由引理3可得

根据定义3结论证得。

命题3设A为n阶可逆方阵，K为非零实数，则KAO也为可逆方阵，且

证明由引理1可得

EO=E

所以KAO可逆，且

命题4设A、B为n阶可逆方阵，则AOBO也为可逆方阵，且(AOBO)-1=(BO)-1(AO)-1。

证明因为A、B为可逆方阵,所以由命题3可得AO、BO也为可逆方阵，且(AO)-1=(A-1)O,(BO)-1=(B-1)O。

由引理1可得

故AOBO可逆，且

命题6设A为n阶可逆方阵,则|(AO)-1|=|AO|-1=|A|-1。

证明因A为可逆方阵,故由命题3可得AO也为可逆方阵，即AO(AO)-1=E。故

由命题1可得|AO=|A|，且A可逆，即|A|≠0。故

命题7设A、B∈Rn×n，A与B合同，且A为O-对称矩阵，则A与BO合同。

证明因为A与B合同,所以存在可逆矩阵Q∈Rn×n,使得B=QTAQ。

由引理1可得

BO=(QTAQ)O=(QT)OAOQO=(QO)TAOQO

又因A为O-对称矩阵，即AO=A。故

BO=(QO)TAOQO=(QO)TAQO=PTAP

因此，A与BO合同。

命题8设A为可逆的实O-对称矩阵，则A-1也为实O-对称矩阵，且A-1与AT为O-合同。

证明因为A为实O-对称矩阵,故AO=A。

由引理1可得

故A-1是O-对称矩阵,又因为A可逆。

ATA-1AO=ATA-1A=ATE=AT

所以A-1与AT为O-合同。

命题11在实数域R上，实n阶方阵A与n阶单位矩阵E为O-合同，则|A|>0。

证明因为A与E为O-合同,故由引理4可得E与A为O-合同。

存在可逆矩阵Q∈Rn×n, 使得

A=QTEQO=QTQO

由命题1可得

结论成立。

命题12设A、B∈Rn×n,Q是n阶正交矩阵，且B=QTAQO，则|B|=|A|。

证明因为Q是n阶正交矩阵,故QT=Q-1。

又因B=QTAQO,故B=Q-1AQO。

由命题1可得

结论成立。

命题13设A与B为O-合同，且A为O-对称矩阵，则JnA与JnBO合同。

证明因为A与B为O-合同,故存在可逆矩阵Q∈Rn×n, 使得B=QTAQO。

由引理1可得

(QT)OAOQ

又因A为O-对称矩阵,故AO=A。

BO=(QT)OAOQ=(QT)OAQ=JnQTJnAQ

JnBO=QTJnAQ

即JnA与JnBO合同。

命题16若A为n阶正交矩阵，B为任意n阶方阵，则AB与BAO为O-合同。

证明因为A为n阶正交矩阵,故ATA=E。

BAO=EBAO=(ATA)BAO=AT(AB)AO

故AB与BAO为O-合同。

参考文献：

[1]许永平.旋转矩阵的概念与一些结论[J].江苏广播电视大学学报,1997(2)：81-84.

[2]许永平.矩阵的O-相似与O-合同[J].南京林业大学学报:自然科学版,2006(4):59-63.

[3]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].5版.北京:高等教育出版社,2007.

[4]屠伯埙,徐诚浩,王芬.高等代数[M].上海:上海科技出版社,1987.

[5]北京大学数学系.几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社,2013.

[6]姚慕生.高等代数学[M].3版.上海:复旦大学出版社,2014.

Properties of a class of special matrix

LIU Jianming1,2,3

(1.College of Mathematics and Computer Science, Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China;2.Fujian Provincial Key Laboratory of Data Intensive Computing, Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China;3.Key Laboratory of Intelligent Computing and Information Processing, Fujian Province University,Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China)

Abstract：A class of special matrix is studied and some conclusions are made.

Key words：symmetry； congruence.

中图分类号：O 151.21

文献标志码：A

文章编号：1674-1374(2016)01-0102-03

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.1.21

作者简介：刘建明(1982-)，男，汉族，福建惠安人，泉州师范学院讲师，硕士，主要从事计算数学及高等数学教学与研究,E-mail:liujmcqu1999@163.com.

基金项目：福建省中青年教师教育科研项目(JA13270)； 泉州师范学院校级自选项目(2014KJ15)

收稿日期：2015-05-25