一道大学生数学竞赛题的推广

张士诚（江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州221116）



一道大学生数学竞赛题的推广

张士诚
（江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州221116）

［摘 要］针对2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）第五题，本文利用介值性定理或者积分中值定理，将结论推广到一般情形，并给出证明．

［关键词］积分中值定理；数学竞赛；介值性定理

1　引 言

全国大学生数学竞赛2009年开始举办，作为面向本科生的一项全国性高水平数学竞赛，给全国大学生提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，也极大的激发了学生学习高等数学的积极性和主动性，对高等数学的教学起到了一定的促进作用．同时也促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材．本文从第七届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）中的一道证明题入手，主要运用高等数学中的介值定理、中值定理等知识将该证明题的结论做一般化推广．

2　预备知识

定理2．1［1］（介值性定理） 设函数f在闭区间［a，b］上连续，且f（a）≠f（b）．若μ为介于f（a）与f（b）之间的任何实数（f（a）＜μ＜f（b））或（f（a）＞μ＞f（b）），则至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＝μ．

定理2．2［1］（积分中值定理） 若f与g都在［a，b］上连续，且g（x）在［a，b］上不变号，则至少存在一点x0∈［a，b］，使得

命题2．3（全国大学生数学竞赛预赛非数学类第五题） 设函数f在［0，1］上连续，且

试证

（i）存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜＞4；

（ii）存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．

证 （i）若x∈［0，1］，｜f（x）｜≤4，则

因此

而

所以对于任意x∈［0，1］，｜f（x）｜＝4，由连续性知f（x）＝4或者f（x）＝－4．这样与条件

（ii）先证存在x2∈［0，1］使｜f（x2）｜＜4．若不然，对任何x∈［0，1］，｜f（x）｜≥4成立．则f（x）≥4恒成立，或者f（x）≤－4恒成立，与矛盾．再由f（x）的连续性及（1）的结果，利用介值性定理存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．