一次函数教学的几个关键点

胡镇茂

一次函数是初中阶段数学的重点内容，它是学好其它函数知识的基础；也是初中数学中比较难学、比较抽象的一块内容，不仅令许多学生望而生畏，觉得“头疼”“难啃”的内容，同时也让不少教师在教学过程中左右为难。教学中老师虽然讲的很努力，但学生做作业时仍会遇到很多困难。一次函数是刻画现实世界变量间关系的最为简单的一个模型，学好一次函数对以后进一步学习其它函数有着至关重要的作用！以下就一次函数的教学谈一些我的建议。

一、透彻理解函数和一次函数概念内涵

变量和变量之间关系的内容，非形式化地开始对函数内容的学习，学生感受现实世界中变量和变量之间存在的各种各样的关系及其规律，了解表示这些关系的基本方法，在此基础上建立函数的概念，进一步构建“数”与“形”的模型.首先，理解和吃透函数概念的内涵。在一个变化过程中，两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值和它对应，这时y叫做x的函数，x叫做自变量。在函数概念中，凸显“唯一性”，正是展现函数的深层内涵。在深刻理解函数概念基础上，要抓住一次函数概念y=kx+b（k≠0）的本质，k、b为常数，且k≠0，自变量x的次数为1。

例如：已知y=（k-2）xk2-3+1，当k为何值时，y是x的一次函数？

解：设k2-3=1，得k=±2，

但当k=2时，比例系数k-2=0，不合要求，所以只取k=-2

二、揭示函数与图象的辩证关系，渗透数形结合思想，领会k、b值的正负对一次函数y=kx+b（k≠0）图象的影响

函数解析式及其图象都是函数的表示形式，均揭示了函数与自变量的互动性，它们之间有着必然的联系。解析式决定图象，而图象直观反映了解析式中函数与自变量的变化规律，同时具有互补性。图象补充了解析式没有的直观性、形象性，而解析式填补了图象没有的完整性、准确性。在一次函数y=kx+b（k≠0）中，k、b的不同取值决定着不同的函数解析式，从而决定不同的函数图象，特别k、b值的正负对图象影响相当明显。

（1）k>0时，图象必过一、二象限，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大；k<0时，图象必过二、四象限，从左到右图象下降，y随x的增大而减小。

（2）b>0时，图象交y轴于正半轴；b<0时，图象交y轴于负半轴。

因此，在教学中让学生深刻领会k、b值的正负对函数图象的影响，是学生对一次函数实质理解的一个关键。还应注意学生容易出现“一次函数的图像都是一条直线”的误区

在一次函数教学中要将生活实际与一次函数做到有机结合，从而培养学生运用函数解决实际问题的能力。在画实际问题的一次函数图像时，要注意图像受自变量的取值范围的条件限制，而不是“一次函数的图像都是一条直线”，有时图像可能是一条线段或射线或有限个点组成。

三、比较一次函数与正比例函数，渗透类比思想，培养知识迁移能力

正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的特殊情形，有它的特殊性；直线y=kx（k≠0）过原点（0，0），但两者都有"图象都是一条直线"的共性。

教学中通过举例子、列表格比较正比例函数和一次函数性质及图象，借助类比，把握它们的共性和正比例函数的特殊性；通过函数知识迁移，利用它们的共性，解决一次函数相关问题。

例如：把直线y=3x向下平移2个单位得到的直线解析式是……。

解析：直线y=3x向下平移2个单位，说明所得的直线与直线y=3x平行，且与y轴交于（0，-2），若设所求直线解析式为：y=kx+b，

则k=3，b=-2，

故所求的解析式为y=3x-2。

四、掌握一次函数解析式求法，渗透待定系数法思想

求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是确定常数k、b的值，那么又怎样确定呢？我们知道，一次函数y=kx+b（k≠0，x为全体实数）的图象是一条直线，而“两点”可确定一条直线。因此，在教学中让学生明确，只要求出直线上两点坐标，再利用待定系数法建立关于k、b的方程组，即可求出k和b的值。

例如：已知一次函数过点A（-1，-5）和点B（2，1），求此函数解析式。

解：设所求的一次函数解析式为y=kx+b，

因为一次函数过A（-1，-5）和点B（2，1），所以-k+b=-5，且2k+b=1

即：k=2， b=-3

故所求的函数解析式为y=2x-3

五、揭示一次函数与一次方程（组），不等式（组）联系，运用函数观点解决方程、不等式问题

运用一次函数观点解决一次方程（组）、不等式（组）的问题时，学生只会一味地想到去解一次方程（组）、不等式（组）而忽视数形结合的思想。有的教师在教学中可能很少培养学生用函数的观点认识数学问题，用变化和对立的眼光分析问题，加强各种知识间的联系。这时作为教师，我们应该培养学生运用数形结合的思想来解决问题，通过一次函数图像的交点来解一次方程（组）、不等式（组），给学生以形象、直观的印像。

（1）一次函数与一次方程、不等式关系：“解方程kx+b=0”相当于“x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0”；“解不等式kx+b>0（或<0）”等价于“x为何值时，一次函数y=kx+b的值大于0（或小于0）”。

例如：利用一次函数图象解不等式2x-4≥0。

解：设y=2x-4，过（0，-4）和（2，0）画直线，∴由图象可知，当x=2时，y=0；当x>2时，y>0，∴不等式2x-4≥0的解为x≥2

（2）一次函数与二元一次方程组的关系：从“数”的角度看：

解方程组：

{y=k1x+b1

y=k2x+b2

相当于x为何值时一次函数y=k1x+b1的值与一次函数y=k2x+b2的值相等；从“形”角度看，解方程组相当于求两直线的交点坐标。

例如：利用一次函数图象解方程组

{x-y=5

y+x=3

解：由原方程组得y=x-5 ①

y=-x+3 ②

画出①、②的函数图象，交点坐标为（4，-1），则方程组的解为

{x=4

y=-1

总之，在一次函数的教学中，既要借助于类比思想，又要用数形结合的方法进行教学，只有这样教学效果才会更加显著，学生学的才会更愉快。不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一个较长的过程，即需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的理解和感悟。结合函数内容学习可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势，并在这一过程中培养学生的数学思想方法。