探索不等式恒成立问题的求解方法

黄守清

数学教学中常常遇到恒成立问题，学生解决这类问题往往比较吃力.恒成立问题有很多种类型，涉及到一次函数、二次函数的性质和图象、分离常数、导数，蕴含着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，解决恒成立问题有利于提高学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.本文将综合讨论不等式恒成立问题的类型与解法.

一、一次函数型

1.给定一次函数y=f（x）=kx+b （k≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于

①k>0，

f（m）>0或②k<0，

f（n）>0，也可合并成f（m）>0，

f（n）>0.

同理，若在[m，n]内恒有f（x）<0，则有f（m）<0，

f（n）<0.

例1对于满足0≤p≤4的实数p，求使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围.

突破口已知哪个的范围，哪个就是主元.由0≤p≤4，故本题中p是主元.

解原不等式为x2+（p-4）x+3-p>0，0≤p≤4，

整理得（x-1）p+x2-4x+3>0，0≤p≤4.

令y=f（x）=（x-1）p+x2-4x+3，0≤p≤4，

转化为一次函数类型的恒成立问题，

则有f（0）>0，

f（4）>0x∈（-∞，1）∪（3，+∞），

x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）

x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.

因此，要x2+px>4x+p-3在0≤p≤4上恒成立，x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.

评注在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐.如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程.

二、二次函数型

类型1设f（x）=ax2+bx+c （a≠0），（1）f（x）>0在x∈R上恒成立a>0且Δ<0；（2）f（x）<0在上恒成立a<0且Δ<0.

类型2设f（x）=ax2+bx+c （a≠0），

（1）当a>0时，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立

-b2a<α，

f（α）>0或α≤-b2a≤β，

Δ<0或-b2a>β，

f（β）>0.

f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立f（α）<0，

f（β）<0.

（2）当a<0时，f（x）>0在x∈[α，β]上恒成立f（α）>0，

f（β）>0.

f（x）<0在x∈[α，β]上恒成立

-b2a<α，

f（α）<0或α≤-b2a≤β，

Δ<0或-b2a>β，

f（β）<0.

例2已知函数f（x）=x2+ax+3-a，

（1）在R上f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

（2）若x∈[-2，2]时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围.

析解（1）y=f（x）的函数图象都在x轴上方，即与x轴没有交点.

Δ=a2-4（3-a）=a2+4a-12<0，

所以-6

（2）题目中要证明f（x）≥a在[-2，2]上恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成右边二次函数在区间[-2，2]时恒大于等于0的问题.

解f（x）=x2+ax+3-a≥2，

即g（x）=x2+ax+1-a≥0在[-2，2]上恒成立.

（1）Δ=a2-4（1-a）≤0，

所以-2-22≤a≤-2+22.

（2）Δ>0，

-a2≥2，

g（2）≥0， 或Δ>0，

-a2≤-2，

g（-2）≥0.

解得-5≤a≤-22-2.

综上所述，-5≤a≤-22-2.

规律方法1.解答此类问题一般把问题转化为关于x的函数，即问题就等价于函数g（x）的图象在区间（a，b）内的部分位于x轴上方，结合二次函数的图象，根据二次函数的性质就可以列出a所满足的不等关系.

上面介绍了一次函数和二次函数中的恒成立问题的解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题.

三、分离参数

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.其步骤为：

（1）将参数与变量分离，即化为g（λ）≥f（x）（或g（λ）≤f（x）恒成立的形式；

（2）求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值；

（3）解不等式g（λ）≥f（x）max（或g（λ）≤f（x）min），得λ的取值范围.

例3（1）对任意x∈[2，+∞），都有不等式x2+（1-t）x+4>0恒成立，求t的取值范围；（2）对任意x∈（2，+∞），都有不等式x2+（1-t）x+4>0恒成立，求t的取值范围.

分析当变量是整个实数集R时，恒成立问题适用判别式法，当变量的范围是区间，也可以选用一元二次方程根的判别式，但计算相对繁琐.常用分离参数法.要特别注意关键点上的取值情况，看能否取到.

解（1）分离不等式x2+（1-t）x+4>0中的参数t，得t

（2）分离不等式x2+（1-t）x+4>0中的参数t，得t5，所以t≤5.

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f（a）≥g（x）恒成立，只须求出g（x）max，则f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出参数a的取值范围；若f（a）≤g（x）恒成立，只须求出g（x）min，则f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值.