立体几何热点扫描

秦恺然

立体几何解答题，文科突出考查直观感知和简单的推理论证，比如证明线面平行或垂直，计算几何体的表面积或体积等，不涉及线面角和二面角；理科更注重对空间想象能力和推理论证能力的考查，平行和垂直关系以及计算线面角或二面角都是重要内容，同时，题目的设计兼顾“几何法”和“向量法”.

平行与垂直关系

例1 如图，在直三棱柱中，面和面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点. 运用向量方法证明：

（1）平面；

（2）平面平面.

分析 从点出发的三条直线，，两两垂直，可建立空间直角坐标系.

证明一 由题意得，，，两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形边长为1，则，，，，，，.

（1）

（2）设平面与平面的一个法向量分别为，.

点拨 空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，而用向量法证明空间线线、线面、面面平行或垂直时，实质上转化成直线的方向向量与平面的法向量之间的关系. 利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤如下. （1）坐标运算法：①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；③通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；④根据运算结果解释相关问题. （2）基向量运算法：①选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90°（其次为60°或120°）、模长或其关系已知的向量为基向量；……