Max珄a，b…}和玬in珄a，b…}型函数解法探析

杨秦飞 　王秋月

[摘要]本文主要给出近几年高考中出现的一类新函数f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}的本质及解法探究，以为中学解题教学提供一种学习方式和研究手段。

[关键词]分段函数；高考解题

一、问题提出

分段函数是高中数学函数部分的一个重点，也是历年高考考察的重点之一。在2013年之前的分段函数考察，主要以f（x）=h（x），x>ag（x），x≤a这种形式出现，从2013年开始出现了另一种“新型分段函数”，这种函数以另一种方式呈现出来，即f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}，那么针对此类函数它是怎么产生的？我们怎么来求解这类函数呢？

二、分段函数的定义

1。“代数”角度

一般意义上，我们把在函数定义域内，在不同区间上的具有不同的对应关系（函数表达式）的函数叫做分段函数。一般情况我们将其记作：f（x）=

t（x），x∈（a，b）

h（x），x∈（b，c）

g（x），x∈（c，d）

…

2。“形”的角度

从图形的角度来理解，就是同一函数，在不同的区间上面对应的函数图像不满足同一函数表达式，而是根据区间的不同，对应不同的图像满足不同的解析式。

图 1例如函数（1）、f（x）=

log1[]2x，x≥1，

2x，x<1等等作出（1）的函数图像如图2：（1）图我们可理解为f（x）截取的是y1=log12x和y2=2x两个函数的不同部分而合成的函数。当x≥1时，f（x）取y1=log12x和y2=2x较小的，即最下面的图像；当x<1时，f（x）取y1=log12x和y2=2x较大的，即最上面的图像。

在以上（1）图中，结合其解析式，我们可以用另一种方式来呈现其解析式：

f（x）=log1[]2x，x≥1，

2x，x<1

f（x）=max2x，log1[]2x，x≤1

min2x，log1[]2x

，x>1

类似的，我们就可以让所有的分段函数，通过f（x）=max{h（x），g（x）…}或f（x）=min{h（x），g（x）…}来表示，这也就产生了我们这里所谓的“新型分段函数”。

三、新型分段函数本质介绍及解法

通过上面的介绍我们已经知道“新型分段函数”其本质是分段函数，只是我们将原分段函数中每一解析式对应函数图像全部作出，再根据不同区间对应的不同图像的相对位置，通过max{a，b…}和min{a，b…}呈现出来。

图 2例 函数f（x）=-x，-2

g（x）=x2-2下面分别作出h（x）=-x，g（x）=x2-2的函数图像，如图2。

当x∈（-2，1）时，f（x）的图像取得是该区间所对应全部图像的最上面（最大）那一条，即f（x）=h（x）=-x；

当x∈（-∞，-2]∪[1，+∞）时，f（x）的图像取得也是该区间所对应全部图像的最上面（最大）那一条，即f（x）=g（x）=x2-2。从而作出f（x）图像。

图 3如图3所示；因此我们就可给出f（x）的另一呈现形式：

f（x）=-x，-2

x2-2，x≥1或x≤-2f（x）=max{x2-2，-x}。

这里知道了f（x）=（max）/（min）{h（x），g（x）…}的产生

过程，下面来看看其此类题解法：

①在整个定义域内作出（max）/（min）{h（x），g（x）…}中h（x），g（x）…的所有函数图像。

②在作出的h（x），g（x）…函数图像后：若原函数是max{h（x），g（x）…}，则取h（x），g（x）…函数图像中，每段相对位置位于最上方的一段；若原函数是min{h（x），g（x）…}，则取h（x），g（x）…函数图像中，每段相对位置位于最下方的一段。

③由②给出了（max）/（min）{h（x），g（x）…}的图像，那么这里就根据每一段的图像给出（max）/（min）{h（x），g（x）…}的解析式，并可结合图像得出单调性，奇偶性以及周期性和最值问题。

通过对本类题的探讨也给我们中学解题教学提供一定的方向，即注意培养学生对每一知识可以怎样变化，可以和哪些板块知识联系起来等等相关能力，这才是避免当前中学教学中题海战术的有效方法。

[参考文献]

[1]张启兆。张爱华。理解分段函数含义领悟其研究方法[J]。中学生数学第507期3-4。2015。2。

[2]杨孝斌。康纪权。从一个不等式的证明谈起[J]。数学教学通讯总295期46-47。2008。6。

[3]潘江涛。高中数学中分段函数问题的研究与分类总结[J]。中学数学教学参考（中旬）。总第134期。11-12。2012。9。