“万法归宗”

曾敏

[摘要] 正弦定理和余弦定理是三角形中的两个重要定理，它们将三角形的边和角有机地结合起来，深刻地揭示了三角形中的边角关系。在解三角形时，我们应充分关注问题的几何背景，利用好正余弦定理和向量等工具实现三角形的边角互化， 从而优化解题方法。

[关键词]解三角形；边角；正弦定理；余弦定理

解三角形是高中数学中的重要内容，也是高考的必考内容，而考察的重点又放在了正弦定理、余弦定理的应用。如何利用好正、余弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式呢？学生在遇到此类问题时，不知何时用哪个定理，基于此，现举例说明，给出几种招数供大家参考。

例 在△ABC中，2sin2A2=3sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，则ACAB=。

法宝一：（“化角”策略）

分析 利用二倍角公式求A， 将所求边的比值化成角的关系上，运用正弦定理可以实现将边化为角，突出三角恒等变形思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinCtanB=3tanC。

∴tanπ3-C=3tanC33tan2C+4tanC-3=0tanC=-2+1333（tanC>0）。

∴ACAB=sinBsinC=sin（π3-C）sinC=3cosC-sinC2sinC=32cotC-12=323313-2-12=1+132。

点评 利用正弦定理把已知条件的边转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变形，求出内角的关系。

法宝二：（“化边”策略）

分析 利用余弦定理可以实现将三角内角的余弦值转化为边，利用正弦定理将角的正弦值转化为边，突出代数方程思想。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinCsinBcosC=3cosBsinC。

b·a2+b2-c22ab=3·a2+c2-b22ac·ca2+b2-c2=3（a2+c2-b2）a2=2b2-2c2。

由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos23π=b2+c2+bc。

∴2b2-2c2=b2+c2+bc3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0。

∵bc>0，∴bc=1+132。

点评 利用正、余弦定理把已知条件的角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系。

法宝三：（“数形结合”策略）

分析 作出三角形的高，主要运用直角三角形中锐角的三角函数定义和勾股定理也可解答。

2sin2A2=3·2sinA2cosA2sinA2=3cosA2tanA2=3A=23π。

取AB=AD=c，过A作AH⊥BD。如右图：

sin（B-C）=2cosBsinCsin∠CAD=2cosBsinC。

∵sin∠CADsinC=CDc，∴CD=2c·cosB=2BH=BD。

∴AD=12（AB+AC）c2=14c2+b2+2bccos23π=14（c2+b2-bc）。

∴3c2-b2+bc=0bc2-bc-3=0。∵bc>0，∴bc=1+132。

点评 把平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，能够发现题目中的隐含条件。

这个例子充分显示了三角形边角关系互化的特点，处理此类问题的方法策略很多，归结到底，利用好正、余弦定理，通过“化角”，“化边”，“数形结合”三大法宝可以实现完美的转化。