双曲线化圆的两个视角及其应用

山东宁阳第二实验中学　　王志豪　　(邮编：271400)山东省泰安宁阳一中　　　苏凡文　　(邮编：271400)



双曲线化圆的两个视角及其应用

山东宁阳第二实验中学王志豪(邮编：271400)山东省泰安宁阳一中苏凡文(邮编：271400)

我们知道，利用仿射变换可以将椭圆变换为圆，采用圆的性质解决椭圆问题，但是极少见到将双曲线仿射变换为圆的研究.一般来说，椭圆所具备的性质双曲线也具备.笔者经过思考，从两个视角谈一下将双曲线仿射变换为圆，利用圆的性质解决双曲线问题.想法不尽成熟，以期抛砖引玉，请同仁辅正.

1双曲线化圆的两个视角

视角一类比椭圆化圆将双曲线化圆

视角二借助虚数单位i将双曲线化圆

2两视角下双曲线化圆的应用

(1)利用直线与双曲线的位置关系求参数取值范围

例1若双曲线x2-y2=1与直线y=kx-1有两个不同的交点，求实数k的取值范围.

解析视角一

视角二

(2)求双曲线的切线方程

解析视角一

视角二

(3)双曲线中的中点弦问题

解析视角一

视角二

仿射变换中有很多的变与不变，因仿射的角度不同，每种仿射下的“变与不变”也不相同，我们要充分利用“不变”的性质解题，而“变”的性质就决定了椭圆化圆、双曲线化圆后，利用圆的性质解题会有诸多的限制.例如中点弦问题，利用角度一仿射后，其中的一个“变”是双曲线的弦中点不一定是圆的弦中点了，那么再利用圆的性质求中点弦就不对了；其中的一个“不变”是点在双曲线内(外)经仿射后仍然在圆内(外)，我们可以利用这个性质判断是否存在以此点为中点的弦.由此可见，利用仿射研究椭圆、双曲线化圆问题仍有大量工作可做，希望各位数学同仁能够加以补充.

参考文献

1王敬赓，岳昌庆．关于双曲线的“内部”和“外部”的对话[J].数学通报，2014(12)

(收稿日期：2015-12-24)