利用导数的定义破解导数解答题

蓝云波

在导数解答题中，含参数的恒成立、能成立问题的考查频率颇高，这部分考题，不少答案都是利用分类讨论思想解答的，虽然分类讨论是数学中的重要思想方法，具有不可替代的作用和地位.但笔者在教学中发现，学生对分类讨论尤为畏惧，往往不能有效解决问题.所以学生更喜欢利用分离参数，转化为最值的方法解答这类问题.但应用这种方法求解，有时最值不存在，其极限值却存在，不少教师在教学中都是利用高等数学中的洛必达法则解决的，但这对学生而言却是超纲的，尤其是对基础本就不够好的学生而言，无疑加大了其学习的负担.基于此，笔者尝试利用其它途径解决这个问题.通过探究，笔者发现，利用导数的定义是解决这类问题的一大利器.因此特别把自己的一些想法整理成文，以期抛砖引玉，望大家批评指正.

人教A版数学选修22教材第5页给出了如下的导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx，

我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数（derivative），记作f′（x0）或y′x=x0，即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

在教学中，若教师对基本概念作进一步的发掘，容易得出函数y=f（x）在x=x0处的导数定义等价于f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0.

导数的定义给出了某一函数在x=x0处的极限值与函数y=f（x）在x=x0处的导数的联系，为利用导数的定义解决一类导数解答题提供了理论依据.下面笔者以近几年的各类试题为例，谈谈利用导数的定义破解导数解答题这个问题.

例1（2014年高考北京卷理科）已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].

（1）求证：f（x）≤0；

（2）若a

解析（1）因为f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤0，所以f（x）在[0，π2]上单……