巧用叠加原理求解由若干个带电体形成的电场分布问题

文中琼+陈太红+杨志鹏

摘 要： 电场力和能的性质是高考物理中的一个常考点，其中由若干个带电体所形成的电场分布特点更是高考难点之一。在不清楚电场分布的情况下，学生极易导致失分。针对此类情况，本文旨在将两个及以上的带电体所形成的电场分布，全部转换为学生熟悉的由多个点电荷所形成的电场分布的叠加，由此学生可应用“场强叠加原理”判断各点的电场强度大小；应用“电势叠加原理”判断各点电势高低；应用合外力所做的功等于各个分力所做功的代数和，定性地判断电场力做功的正负，进而判断各点电势能的大小。

关键词： 场强叠加原理 电势叠加原理 点电荷 电势能

1.补充知识

1.1场强叠加原理

当空间存在多个电荷时，它们在某一点形成的场强等于各个电荷单独存在时在该点场强的矢量和。学生熟悉在真空中的点电荷所形成的电场中，某点的场强E由场源电荷Q和该点到场源电荷的距离r决定，即E=。在电场线或等势面分布特点不明确的情况下，若需判断各点的电场强度大小，此时根据场强叠加原理，便可快速有效地解决问题。

1.2电势叠加原理

任意带电体系都可看成是点电荷组，它们在空间产生的电势分布亦可用叠加原理求得。与场强叠加不同，电势叠加是标量叠加（如图1所示）：

由于中学阶段学生并未学习微积分，无法理解电势叠加原理的真正含义。教师在授课时可以结合点电荷在真空中的电场强度E=，并根据在匀强电场中U=Ed，定性地给出点电荷所形成的电场中任意一点的电势为φ=（即电势由场源电荷Q和该点到场源电荷的距离r决定），并由此验证为什么沿电场线方向电势降低？解析如下：（1）若场源电荷为正电荷则沿电场线方向r逐渐变大，由数学知识可知φ逐渐减小，即沿电场线方向电势降低。（2）若场源电荷为负电荷则沿电场线方向r逐渐减小，由于Q为负值，因此φ逐渐减小，即沿电场线方向电势降低。由电势叠加原理得，当空间存在多个电荷时，它们在某一点形成的电势等于各个点电荷单独存在时在该点电势的代数和。

1.3合外力做功

当合外力为恒力时求总功的方法：（1）先求合外力F，再由W=Flcosα；（2）先求各个力做的功W、W、W…，再应用W=W+W+W+…。若合外力为变力，我们可应用这两种方法定性地判断力所做功的正负即可。针对电场力常采用先判断各个电场力做功正负，再判断总电场力做功正负，进而得出电势能的变化情况。

2.典型应用

2.1（2013山东理综，19）（多选）如图2所示，在x轴上相距为L的两点固定两个等量异种点电荷+Q、-Q，虚线是以+Q所在点为圆心，L/2为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称。下列判断正确的是（ ）

A.b、d两点处的电势相同

B.四个点中c点处的电势最低

C.b、d两点处的电场强度相同

D.将一试探电荷+q沿圆周由a点移至c点，+q的电势能减小

分析与解：（1）判断场强大小：因为b、d到+Q的距离相等，所以E=E（方向不同），又有b、d到-Q的距离相等，所以方向不同），由场强叠加原理（但方向不同），所以C选项错误。（注：本文中代表正电荷在b点的场强大小，代表负电荷在d点的场强大小；φ代表正电荷在a点的电势大小，φ代表在a点的总电势r代表a点到负电荷的距离；E代表a点的电势能大小依次类推，以下将不再介绍。）

（2）判断电势高低：针对+Q：因为a、b、c、d到+Q的距离相等，由电势叠加（标量叠加）：，即c点电势最低，b、d两点电势相同，即A、B正确。

（3）判断电势能大小：针对+Q，因为a、b、c、d为等势点，所以a到c电场力不做功，电势能不变化；针对-Q，因为+q从a到c电场力做正功，所以电势能减小。所以合外力所做的总功为正功，电势能减小，即D选项正确。

2.2（2015山东德州模拟）（多选）如图3所示，分别在M、N两点固定放置两个点电荷+Q和-q（Q>q），以MN连线的中点O为圆心的圆周上有A、B、C、D四点。下列说法正确的是（ ）

A.A点电势低于B点电势

B.A点场强大于B点场强

C.将某正电荷从C点移到O点，电场力做负功

D.将某正电荷从O点移到D点，电势能增加

分析与解：（1）判断场强大小：因为A、B两点关于O点对称，Q>q，所以A点的场强大于B点的场强。即B正确。

（2）判断电势高低：针对+Q，∵rφ；针对-q，∵r>r∴φ>φ，由电势叠加可得φ>φ，即A错。

（3）判断电势能大小：针对+Q，若将某正电荷从C点移到O点，电场力做负功；针对-q，若将某正电荷从C点移到O点，电场力做正功。由于Q>q，所以+Q做的负功数值上大于-q做的正功，所以总的电场力从C点移到O点做负功，即C正确。针对+Q，若将某正电荷从O点移到D点，电场力做正功；针对-q，若将某正电荷从O点移到D点，电场力做负功。由于Q>q，因此+Q做的正功的数值上大于-q做的负功的数值，总的电场力从O点移到D点做正功，电势能减少即D错。

2.3（2013江苏理综，6）（多选）将一电荷量为+Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图4所示，金属球表面的电势处处相等。a、b为电场中的两点，则（ ）

A.a点的电场强度比b点的大

B.a点的电势比b点的高

C.检验电荷-q在a点的电势能比在b点的大

D.将检验电荷-q从a点移到b点的过程中，电场力做负功

分析与解：（1）判断场强大小：针对+Q，∵rE；针对金属球，由于金属球不带电，则E=E=0，∴E>E，即A正确。

（2）判断电势高低：针对+Q，∵rφ；针对金属球，由于金属球不带电，则φ=φ=0，∴φ>φ，即B正确。

（3）判断电势能大小：针对+Q，若将-q从a移到b，电场力做负功；针对金属球，由于金属球不带电，因此电场力不做功。所以总的电场力做负功，电势能增加即a点的电势能小于b点的电势能C错误D正确。

2.4（2014江苏理综，4）如图5所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O。下列关于x轴上的电场强度和电势的说法正确的是（ ）

A.O点的电场强度为零，电势最低

B.O点的电场强度为零，电势最高

C.从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势升高

D.从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低

分析与解：（1）判断场强大小：圆环均匀分布着正电荷，可以将圆环等效为很多正点电荷q的组成，由于所有的正电荷q到O点的距离相同，则任意点电荷到o点的场强大小相等，但方向不同，由场强叠加原理可得O点场强为零。由于沿x轴正方向，任意点电荷到x轴方向的距离逐渐变大，则场强减小，由场强叠加原理可知场强减小。

（2）判断电势高低：同上可知，任意点电荷到O点的电势相等，由电势叠加原理满足标量叠加，则O点电势最高，即B正确。由于沿x轴正方向，任意点电荷到x轴方向的距离逐渐变大，由电势叠加原理得电势升高，即D正确。

参考文献：

[1]赵凯华.新概念物理教程电磁学[M].高等教育出版社，2006.

[2]朱玉龙.5年高考3年模拟高考物理新课标专用[M].教育科学出版社，2015.