n维超立方体模映射安全隐写算法

廖琪男，孙宪波，潘瑞冬

(1.广西财经学院计算机科学系，广西南宁530003; 2.广西财经学院应用数学系，广西南宁530003; 3.广西财经学院实验中心，广西南宁530003)



n维超立方体模映射安全隐写算法

廖琪男1，孙宪波2，潘瑞冬3

(1.广西财经学院计算机科学系，广西南宁530003; 2.广西财经学院应用数学系，广西南宁530003; 3.广西财经学院实验中心，广西南宁530003)

摘要：针对目前基于模函数的隐写研究现状，提出n维超立方体模映射隐写算法.根据模运算性质定义一个n维模函数，将n个像素值映射到一位an进制数值，从而可以实现将一位an进制信息隐藏到n个像素中.选择不同的参数a可以得到不同的嵌入率和载密图像视觉质量，选择较大的参数n且a为偶数时可以得到更好的载密图像视觉质量.理论分析和实验结果表明，本文算法与众多隐写算法相比，不仅具备这些算法的功能，而且具有更好的载密图像视觉质量、安全性和更强的实用性.

关键词：数字图像;模函数;余数循环;隐写

1　引言

信息隐藏算法可分为空域算法和频域算法.在空域隐写算法中，简单有效而又著名的方法就是最低有效位(Least Significant Bit，LSB)取代算法［1］，为克服LSB容易被图像直方图和RS(Regular Singular，RS)隐写分析［2］这一缺陷，LSB匹配算法［3］和动态补偿LSB隐写方法［4］等抗LSB侦测的隐写算法被提出来.为提高LSB匹配算法的视觉质量，Mielikainen提出LSB匹配重访(LSB Matching Revisited，LSBMR)算法［5］.为了提高LSBs(Least Significant Bits，LSBs)视觉质量，Chan等人提出优化调整像素值(Optimal Pixel Adjustment Process，OPAP)的LSBs算法［6］.目前，LSB算法仍在信息隐藏占有重要地位，在频域算法中有很多算法采用了LSB算法或思想［7～9］，以及应用LSB结合像素差、像素边缘匹配和图像局部复杂度等的自适应隐写算法［10～12］.

2006年Zhang与Wang提出利用改变方向(Exploiting Modification Direction，EMD)的模运算隐写算法［13］，该方法可以实现将1位(2n +1)进制信息嵌入到n个载体像素中，其具有高嵌入效率和良好的载密图像视觉质量，但其最大理论嵌入率只有1.16 bpp(bits per pixel)，故有许多研究者都参考模运算的余数循环特性提出改进式模运算隐写算法［14～21］.这些算法在嵌入率和效率等方面性能都有了不同程度的提高或改进，但仍存在着信息数制转换中的数据冗余、或嵌入率低、或应用不够灵活广泛、或安全性差等欠缺或不足.

为解决基于模函数的隐写算法中存在的问题，本文提出n维超立方体模映射隐写算法.

2　相关算法

2.1EMD算法

Zhang与Wang提出的EMD算法［13］，可以将一位(2n +1)进制的秘密信息嵌入到n个载体像素中，其提取函数为

式中，(g1，g2，…，gn)为载体图像的一组像素值，n = 2，3，….

该函数描述了在n维超立体坐标系中，某点(g1，g2，…，gn)及n个坐标轴方向上的相邻点的函数值不相同，且正好是(2n +1)进制数的数码(0，1，2，…，2n).如图1所示的2D坐标中的函数值分布.

因此，该函数实现最多修改一个像素值为1，即可嵌入1位(2n +1)进制秘密信息.

2.2FEMD算法

文献［20］提出的全方位EMD算法(FEMD)，可以实现将一位a2进制的秘密信息嵌入到两个载体像素中，其信息提取函数为

式中，(x，y)为载体图像的一对像素值，a =2，3，….

该函数的特点是，在2D坐标系，(x，y)像素对在由式(2)在像素值［0，255］范围内生成的256×256像素对映射矩阵中，其边距离(x，y)点为r =「a/2」的正方形区域内所有元素(函数值)等于或包含a2进制数的数码(0，1，2，…，a2-1)，如图2(a)和(b)所示.

因此，该算法的信息嵌入过程就是在该256×256矩阵中，在其边距离(x，y)点为r的正方形内的元素所组成的矩阵中，查找元素等于要嵌入的a2进制信息d，且(x，y)像素对修改量最小的修改方案.

3　n维超立方体模映射隐写算法

3.1模运算性质

模运算函数表示为

对于式(3)所表示的模运算函数，具有以下性质:

性质1当a为奇数，x的变化量Δx在由式(4)所确定的a个连续不同的整数集合A内取值时，式(5)成立.函数f(x)是“一对一”的映射关系.

性质2当a为偶数，x的变化量Δx在由式(4)所确定的a +1个连续不同的整数集合A内取值时，式(5)成立，且f(x + a/2)= f(x - a/2).函数f(x)是“多对一”的映射关系.

因此，应用模运算这一正负间周期的特点，可以在像素值修改量Δx最小的情况下，通过修改像素值x为x +Δx来隐藏一位a进制信息d(d =0，1，2，…，a -1).当a =2k时，可以通过修改像素值x为x +Δx来隐藏k位二进制信息.将式(3)的载体像素x扩展至n个像素，将得到n维超立方体模映射隐写算法.

3.2n维超立方体模映射隐写算法

n维超立方体模映射隐写算法可以实现将一位an进制秘密信息嵌入到n个载体像素中.

3.2.1相关定义、定理

定义1 n维超立方体模映射(n-Dimensional Hy-percube Modulo Mapping，nDHMM)信息隐藏(简称n维模映射，nDMM)，是指将n个像素值通过线性组合后的模运算结果映射到一位an进制秘密信息，从而实现信息隐藏.

设一位an进制秘密信息嵌入到n个其像素值为x1，x2，…，xn的载体像素中，算法的提取函数定义为

式中，a =2，3，…; n =1，2，3，…; c为引入的算法安全系数，是xi的线性函数值平移量，根据模运算的余数循环的周期性，c =0，1，2，3，…，an-1.

定理1式(6)中，当xi的变化量Δxi都在由式(4)所确定的整数集合A内取a个连续不同的变化量时，式(7)成立，即在an个像素值组合的n维超立方体编码中的元素正好是an进制数的数码(0，1，2，…，an-1).

证明略.

推理1式(6)中，当a为偶数，xi的变化量Δxi都在由式(4)所确定的集合A内取值(a + 1个变化量)时，式(7)成立，即在(a +1)n个像素值组合的模映射中的元素包含an进制数的数码(0，1，2，…，an- 1)，有(a +1)n- an个f值重复.

由定理1和推理1可知，在n维超立方体坐标系中，某一点(x1，x2，…，xn)的±「a/2」的超立方体空间范围内的所有点的函数值f一定等于(当a为奇数时)或包含(当a为偶数时)an进制数的数码(0，1，2，…，an-1).因此可以实现an进制信息隐藏.信息嵌入就是遍历这些点的函数值f等于an进制信息d的点(当a为奇数时)，且离(x1，x2，…，xn)最近的点(当a为偶数时).

当a =2k时，本算法具有LSBs一样的嵌入率k.

3.2.2嵌入过程

根据前面的叙述，信息隐藏嵌入步骤如下:

(1)二进制信息流转an进制信息流

依次取二进制数据流D的L位数字，将其转化为K 位an进制的数字序列.L、K的取值计算式为

当a = 2k时，可以用一位an进制信息完全表示nk位二进制信息，即K =1，L = nk.

(2)取1位an进制信息d，由密钥产生的随机序列选择n个载体像素的像素值xi作为一组(x1，x2，…，xn)，并按式(6)计算其函数值f.如果f = d，不改变像素xi，否则按下面规则确定像素xi的修改量:

当a =2k + 1，即奇数时，Δxi按式(4)所确定的集合A，通过遍历Δxi，使

当a =2k，即偶数时，Δxi按式(4)所确定的集合A，通过遍历Δxi，在f(x1+Δx1，x2+Δx2，…，xn+Δxn)= d下，取总像素值修改量平方(即方差)总和最小时的Δxi的修改方案，即像素值修改满足

(3)如计算载密像素x'i溢出，即x'i＜0，或x'i＞255时，则分别按式(12)调整，然后再重新嵌入信息.

反复执行2 -3，直至信息嵌入完毕.

例1a = 3，n = 2，c = 1，x1= 52，x2= 63，an进制信息d1=5.

a奇数，嵌入过程与计算结果如表1所示.

由表中的计算结果，函数值f = d1的修改量为

表1　像素值变化量与函数值

例2a = 2，n = 2，c = 0，x1= 52，x2= 63，an进制信息d2=3.

a偶数，嵌入过程与计算结果如表2所示.

表2　像素值变化量与函数值

由表中的计算结果，f = d2的最小修改量为

3.2.3提取过程

从载密图像提取二进制秘密信息的步骤:

(1)由密钥产生的随机序列从载密图像选择n个像素为一组(x'1，x'2，…，x'n)，从中提取的一位an进制秘密信息为d = f(x'1，x'2，…，x'n).

(2)将提取的an进制信息转二进制信息.

反复执行1 -2，直至信息提取完毕.

当不知K和L的取值时将得不到正确的信息数制转换，在一定程度上提高了算法的安全性.

例3从例1的载密像素中提取的秘密信息为

从例2的载密像素中提取的秘密信息为

3.2.4嵌入率

本文算法的嵌入率为

3.2.5载密图像失真度理论分析

载密图像视觉质量通常用峰值信噪比PSNR评价，256级灰度图像的PSNR定义为

式中，Mean Squared Error(MSE)为原图像与载密图像之间的均方差，计算式为

式中，m和n分别为图像的高和宽，xi，j和x'i，j分别为原图像和载密图像(i，j)像素的像素值.

PSNR越大，其图像质量越高.一般要求PSNR＞30dB，理想的图像视觉质量要求PSNR＞39dB.

为从理论上比较LSBs，OPAP，LSBMR，EMD，FEMD和本文算法的载密图像视觉质量，下面计算这些算法的均方差MSE.设秘密信息数据在{ 0，1}或［0，2n］或［0，an-1］范围内均匀分布.

对于LSBs，当嵌入率为k时，LSBs的像素值最大修改量为2k-1，每一位被修改为0和1的可能性一样，低第i位的均方差为(1/2)×(2i -1)2.所以，嵌入k位LSBs的载密图像的均方差为

对于OPAP，像素值最大修改量为2k -1.设原图像像素值为x，载密像素值为x'.|x - x'| =0或|x - x'| =2k -1的可能性是1/2k，|x - x' |在［1，2k -1- 1］内的可能性是1/2k -1.所以，嵌入k位信息的OPAP的均方差为

对于EMD，n个像素中的任一像素被改变1的可能性是2n/(2n +1).所以，该算法的均方差为

对于LSBMR，最多只改变两个像素中的一像素值为1，且被改变1的可能性是3/4.所以，该算法的均方差为MSELSBMR=0.375.

对于FEMD算法，信息嵌入方案是像素值改变最小的方案，可以用式(19)计算其均方差.

对于本文算法，信息嵌入方案是像素值方差和改变最小的方案，其均方差为

根据以上典型算法和本文算法的均方差MSE和峰值信噪比PSNR的理论分析计算式，将这些算法的PSNR比较数据列表如表3所示.

表3数据表明，本文算法1DMM的PSNR与OPAP相同，但算法比OPAP简单、可选嵌入率多得多; 1DMM 的PSNR远大于LSBs;当a = 2时，本文算法2DMM的PSNR与LSBMR一样，但LSBMR只有一种嵌入率1bpp.

当a =2时，本文算法的PSNR大于EMD.

对于FEMD和本文算法，当a为奇数时，对于任一信息只有一种像素值修改方案，PSNR相同;由推理1知，当a为偶数时，对某些信息可提供多种像素值修改方案，可以取得更小的像素值修改量.表3的理论计算数据表明，当a = 2，本文算法4DMM的载密图像质量明显优于FEMD，PSNR比FEMD高出0.1848dB;当n＞2，a＞2，且a为偶数时，本文算法的载密图像质量优于FEMD.

4　实验结果与分析

已通过大量实验证明本文算法的有效性和可行性，限于篇幅，在此仅给出代表性的实验结果.本次实验采用Matlab2012b平台，实验图像选用大小都是512 ×512的Lena，Airplane，Peppers和Baboon的标准灰度图像，如图3所示; an进制秘密信息是由Lorenz混沌序列处理得到的随机an进制信息，信息嵌入像素位置由Lorenz混沌序列随机确定，随机选择安全系数c的有序随机整数序列也由Lorenz混沌序列处理得到.为使实验简便有效，安全系数c按每次嵌入操作在［0，an- 1］内随机选择.

表3　本文算法与LSBs，OPAP，LSBMR，EMD，FEMD的PSNR比较

4.1本文算法实验

本实验，an进制随机信息嵌满载体图像的所有像素;从载密图像提取的an进制随机信息与嵌入时的an进制随机信息完全一致.

n维超立方体模映射隐写算法在不同模an下的嵌入率和载密图像视觉质量的实验结果如表4所示.由表4中的实验数据表明，算法可以提供精细大范围的嵌入率选择，且载密图像可以达到比较好的图像质量，当a为偶数且n较大时，可获得更好的视觉质量;不同类型图像的实验结果非常一致，也与表3的理论分析计算结果很一致，这就证明了本文算法适合不同类型的载体图像，以及本文算法的载密图像均方差分析是正确的.

随着n的增加，可以减少嵌入操作次数，但时间复杂度却以an增长.一般建议采用2DMM和4DMM，如嵌入率小或采用并行算法，则可采用8DMM.采用8DMM算法，嵌入率为1bpp时，像素均方差MSE为0.3472，PSNR可达52.7254dB.

当嵌入率Payload = 3bpp时，PSNR大于理想值39dB.当嵌入率Payload =4 bpp时，PSNR近似35dB，一维模映射隐写算法1DMM各实验载密图像的视觉质量如图4所示.与图3的原图像相比，无任何失真现象，仍保持良好的图像视觉质量.

4.2与EMD等典型算法比较实验

本次实验在载体图像(Lena)、秘密信息、嵌入位置等同等实验条件下进行各种算法的实验仿真比较.EMD算法在n = 2时取得算法的最大理论嵌入率为1.16bpp，本实验用2位五进制信息表示4位二进制信息，即实际嵌入率为1bpp.本次实验项目安排及实验结果如表5所示.表5的实验结果表明，与表3的理论分析计算结果一致，由此证明这些算法的载密图像均方差分析是正确的.

表4　不同an值的嵌入率和图像质量

续表4

表5　典型算法和本文算法的实验项目及实验结果

5　结束语

理论分析与实验结果表明，本文提出的nDMM算法与众多的隐写算法相比，具有如下重要特点:

(1)nDMM算法增加或提高了参数取值的密钥空间，可以更有效抵御隐写分析和非法提取秘密信息.

(2)nDMM算法完全可以替代LSB、LSBs、LSBM和LSBMR等基于LSB的隐写算法，以及这些算法在其它隐写算法中的应用［10～12］，并大幅度提高这些隐写算法的“失真-嵌入量(PSNR，嵌入率)”性能和安全性.

(3)nDMM算法与EMD及基于EMD的隐写算法相比，“失真-嵌入量”性能更进一步接近理论值，更好的安全性;当a = 2k时，避免了信息数制转换中的数据冗余问题;具有更好的应用灵活性与方便性，可以象基于LSB的算法的应用［10～12］和文献［22］的隐写方案一样，灵活方便地结合像素差、像素边缘匹配和图像局部复杂度等自适应隐写算法思想研究新的高性能自适应隐写算法;特别适合基于块的自适应隐写算法的应用，这不仅提高嵌入效率，而且提高载密图像视觉质量.

(4)选择大的参数n且a为偶数时，可以得到更好的载密图像视觉质量.

(5)根据瞿治国博士等人［18］和张新鹏教授等人［19］的研究成果，以及基于LSB的算法在频域中的应用［7～9，12］，nDMM算法同样适合DCT和DWT频域信息隐藏和其他媒体的信息隐藏.

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廖琪男男，1964年4月出生，广西钟山人，教授，主要研究方向为数字图像处理、数字图像加密、信息隐藏.

E-mail: lqner@163.com

Secure Steganography by n-Dimensional Hypercube Modulo Mapping

LIAO Qi-nan1，SUN Xian-bo2，PAN Rui-dong3
(1.Department of Computer Science，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China; 2.Department of Applied Mathematics，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China; 3.Experimental Center，Guangxi University of Finance＆Economics，Nanning，Guangxi 530003，China)

Abstract:In order to solve the problems existing in steganography based on modular function，this paper presents ndimensional hypercube modulo mapping steganographic algorithm.According to modular arithmetic properties，the algorithm defines an n-dimensional modular function which n pixels values are mapped to a data in an-ary notational system，thus the algorithm realizes that each secret digit in an-ary notational system is carried by n cover pixels.The algorithm can get different rates of embedding and visual quality of stego image when we choose different parameter a，and can get better visual quality of stego image when a is even number and we choose bigger parameter n.Theoretical analysis and experimental results show that the proposed algorithm，by comparing with many steganography，not only has the function of these algorithms，but also has a better visual quality of stego image，better security，and stronger practicability.

Key words:digital image; modular function; remainder cycle; steganography

作者简介

基金项目:广西高校科研项目(No.YB2014342)

收稿日期:2014-07-17;修回日期: 2015-05-10;责任编辑:李勇锋

DOI:电子学报URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.024

中图分类号：TP391

文献标识码：A

文章编号：0372-2112(2016)01-0160-08