同一法“新”用

张美茹 郎淑雷

中图分类号：G632文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）08-0093-02

先来看这样一道题：

已知如图，E是正方形ABCD内部的一点，∠ECD=∠EDC=15°，求证：△EAB是等边三角形。

证明1：如图1，过点A作AF⊥DE，并延长交DC于G，延长DE交CB于M，过C作CN⊥EM于M

∵∠ECD=∠EDC=15°

∴ CE=CE，∠ CEM=30°

∴CE=2CN

易证 △ADE≌△BCE

∴ AE=BE

易证 △ADG≌△DCM

∴ 在Rt△ADG和Rt△DCM中DF=CN

∴ CE=EM

∴DE=2DF

∴DF=EF

∵AF⊥DE

∴AE=BE=AD=AB

∴△EAB是等边三角形。

证明2：如图2，以AB为边，在正方形ABCD内作等边三角形E′AB，连接E′C， E′D

∵E′A=E′B=AB=DA=CB，

∴∠CBE′=90°-60°=30°，

∠BCE′=（180°-30°）÷2=75°

∴∠E′CD=90°-75°=15°，

由此可见，E′和E实际上是同一点，故△EAB是等边三角形。

上面两种证法的差距很大，证明1是从条件直接出发，通过辅助线和全等等知识得到结论，过程很复杂，并且辅助线的做法很特殊，不易想到。相反，证明2用同一法的理论很简单得出了证明。

当一个命题的题设和结论所指的对象都唯一存在，即符合同一原理时，可用同一法证明。同一法的实质是，符合同一原理的原命题与其逆命题等价，当其逆命题正确时，可断定其原命题正确[1， 2]。

同一法不仅可以常用于平面几何的证明之中，在立体几何中同样可以应用[3，4]。

（2015？上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面。

证明：符合同一原理，可以用同一法证明

三点组成一个平面，假设面A1C1F与棱AB交于E′。

∵面ABCD∥A1B1C1D1，面A1C1FE′与其相交

∴A1C1∥AC，A1C1∥FE′

∴FE′∥AC

∵F为BC中点

∴ E′为AB中点

∴ E′与E重合

即A1、C1、F、E四点共面。

可以看出同一法同样可以用于证明立体几何，除了证明题之外还有一类解答题，同样是可以用同一法的思想来解答的。

假设原命题为“若p且q，则r”，当用同一法证明时，证明其逆命题成立则原命题成立，也就是证明“若r，则p且q”。当q未知时，这就不是证明题，而是解答题。

（2015·全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点。

（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程.