浅谈初中几何证明的教学

吴东颖

摘 要 初中阶段的学生刚接触几何证明大多数学生就算背得定理也不会用，或解决问题时找不到思路，或找到思路不会书写，本文针对这样的问题结合多年教学经验从几何定理的理解、记忆、应用及书写等方面提出了一些初中几何证明教学中的具体做法。

关键词 思维 几何证明 逻辑语言 理解记忆

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0027-02

数学是思维的体操，数学教育离不开思维。战斗在教学一线的数学教师都知道初中阶段的学生刚接触几何证明大多数学生就算背得定理也不会用，或解决问题时找不到思路，或找到思路不会书写，要学好几何证明题，关键是顺利闯过几何证明题入门这一关。如果能把握好了这一步，就可以顺利地进行几何这门学科的学习。

一、几何定理的理解、记忆、应用

多数学生记忆几何定理都是死记硬背，就算背下来了也很容易混淆、容易遗忘，而且不会使用，如：平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的性质、判定，就非常容易混淆，所以光凭死记硬背是不行的，针对这种情况本人在几何定理教学时坚持每一个定理都讲清由来，解释意思，配合图形并转化为逻辑语言。理解是记忆、应用的基础，只有理解了才能记得清、不混淆、记得牢，没有理解的定理更是谈不上应用的，当然记忆当中没有的定理也不可能会想到去用它。为帮助学生理解、记忆、应用定理，在教学中本人坚持每个定理都做到定理、图、逻辑语言配套教学，学生配套记忆。

下面本人以“线段的垂直平分线性质定理”的教学为例说明具体做法

1.帮助学生理解并记住定理。

（1）突破文字语言的理解记忆：

“线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。”

①将定理分解出条件与结论，条件是：线段垂直平分线线上的点、点到这条线段两端点的距离。结论是：距离相等。

②将定理分层次理解，分层方式如下：

如此理解学生记忆时就可以将定理记作“点到点的距离相等”再联系记忆其中的“点”“点”“距离”分别是什么。这样学生就能理解并记住定理的文字叙述。

（2）将定理由文字语言转化为图形语言理解记忆：根据定理作图如下：①作线段AB；②作线段AB的垂直平分线MN交AB于点O；③在直线MN上任取一点P，连接PA、PB。在这步教学时就要强调几何语言的规范使用，养成规范使用几何语言的好习惯，那么以后准确理解几何语言的意思就不难了。

（3）将定理由文字语言转化为符号语言理解记忆：结合上图，角平分线的性质定理可转化为如下符号语言：

∵MN是线段AB的垂直平分线

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

如此将定理的文字语言、图形语言、符号语言三者结合起来记忆，就可以理解并牢牢的记住定理了。图形直观，看到类似的图形就能联想到这条定理；文字叙述方便记忆，逻辑语言片段为书写证明过程提供“好词好句”。

2.应用定理解决问题难关有2个：①找不到解题的思路；②有思路但不能正确完整的用逻辑语言呈现。

（1）对第①个难关的解决办法：首先要读懂题目，读题目要分粗读和细读，至少读两遍，刚开始或复杂的问题需要读三遍。第一步：先粗读一遍题目了解题目的大致意思，初步了解题目中已知告诉了什么，要求或求证什么；第二步：第二遍细读题目，细读时要对照图形做到读题目时每一句话都要理解意思并联系所有有关定义、性质、定理，利用综合法将所有能得到的结论呈现出来，简洁的标注在图上或写在草稿上，读到结论时同样简洁的标注在图上或写在草稿上；第三步：再细读题目，结合第二遍细读时将所得到的结论互相联系、结合，看是否又能联系什么定理，推理进一步得到结论（即用“综合法”分析问题寻找思路）。再读到结论时利用“分析法”逆向思维，根据哪些定理可以得到这样的结论，一步一步逆向推理，寻找已知中能得到的条件与结论之间的关联。通常我们都需要“综合法”“分析法”两种方法结合使用“两头凑"来将思路贯通。第三步细读题目的主要目的是将前面得到的条件与结论进行联系融会贯通思路。是一个整理思路的过程，也是解决问题的关键，前面的两遍都是为第三遍打基础。遇到将前面得到的条件与结论进行联系还是不能融会贯通思路时就需要再读题目看是否有隐含的条件被遗漏导致找不到思路。在问题简单或运用熟练的情况下第二步与第三步可以合并为一步完成，第二步与第三步并不是严格分开的。

本人以下题为例详细说明具体做法：

如图：已知P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D，求证：①∠PCD=∠PDC；②OP是CD的垂直平分线。 （注七年级练习）

第一遍粗读题目 ，初步了解题目中已知两个条件①OP平分∠AOB，OP是角平分线；②PC⊥OA，PD⊥OB，有两个直角；要求证两个结论①∠PCD=∠PDC，两角相等；②OP是CD的垂直平分线，即垂直又平分线，也即有直角同时交点也是中点。

第二遍细读题目：对照图形读题目，读到点P是∠PDC平分线上的一点，要想到角平分线定义与角平分线性质定理，可以得到

∵点P是∠AOB平分线上一点

∴∠AOP=∠BOP=∠AOB

并将可得结论标注在图上

读到PC⊥OA、PD⊥OB，垂足为C、D，想到垂直定义及与角平分线结合又有角平分线性质定理，于是有：

①∵PC⊥OA、PD⊥OB

∴∠PCA=∠PDB=90O（垂直定义）

②∵点P是∠AOB平分线上一点

又∵ PC⊥OA，PD⊥OB

∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）

再读到求证∠PCD=∠PDC，想到可以推得两角相等的定理有等腰三角形的两底角相等和全等三角形对应角相等，与已知可得的条件结合发现PC=PD，⊿PDC是等腰三角形于是第①问的已知与求证取得了联系思路完成。

继续读题目，②OP是CD的垂直平分线，想到证明垂直平分线的根据目前只有定义（垂直一条线段并平分这条线段的直线就是这条线段的垂直平分线）根据定义，需要证明OP⊥CD或PE是⊿PCD中CD边上的高，即∠PEC=90埃暗鉋是CD的中点或CE=DE或PE是⊿PCD中CD边上的中线，想到PE是⊿PCD中CD边上的中线、PE是⊿PCD中CD边上的高再与前面得到的⊿PCD是等腰三角形就想到了等腰三角形三线合一，于是需要证明PO平分∠CPD即∠CPO=∠DPO，可通过证明三角形全等得到对应角相等，那么包含∠DPE与∠CPE的三角形有⊿CPO与⊿DPO或⊿CPE与⊿DPE，结合图形中标注的条件发现⊿CPO与⊿DPO是直角三角形有PC=PD、PO=PO，满足 “HL" 即可得到三角形全等到这思路就全部畅通。

（2）解决难关②，第一步：整理思路拟出大纲，第二步：根据大纲细化逻辑语言。

第一步：整理思路拟出大纲：第①问：

二、书写问题

数学中推理证明的书写格式有许多种，但最基本的是演绎法，也就是从已知条件出发，根据已经学过的数学概念、公理、定理等知识，顺着推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求证的结论来。这种证题格式一般叫“演绎法”，课本上的定理证明，例题的证明，多数是采用这种格式。它的书写形式表达常用语言是“因为……所以……”特别是一开始学习几何证明，首先要掌握好这种推理格式，做到规范化。我们书写证明过程时每一个定理的逻辑语言都是一个个小片段，象写作文时引用好词好句再用一些自己是话连接起来一样，写证明过程也是先根据思路将用到的定理的逻辑语言片段拼凑起来，再进行整理顺序、修补缺漏，就像写作文需要打草稿再进行修改一样。长期坚持这样做由简单的书写入手，就能够让学生学会书写。