别为减负忽视根与系数的关系

吴金梅　王斌

中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）19-0102-01

人教版实验教科书把“根与系数的关系”用“观察与猜想”的形式，安插在初三代数《一元二次方程》一章的后面，没有练习题。而修改后的2009年3月第2版，只是将本内容改为选学内容，后面安排了两个求方程两根的和与积的练习题，还是未引起足够的重视。调查发现，很多数学教师在处理这一内容时，也没有引起必要的重视。我认为，这依然不可能动摇它与判别式是一元二次方程的两个重要理论的地位。实际应用中，它们常常结伴而行，相互依赖。本文试举几例。

例1 “希望杯”（2009年）培训题

当a<-1时，方程（a3+1）x2+（a2+1）x-（a+1）=0的根的情况（ ）。

（A）两负根 （B）一正根一负根且负根的绝对值大

（C）一正根一负根且负根的绝对值小

（D）没有实数根

（分析） 此题第一步要用△判别有无实根，再由根与系数的关系确定具体是什么样的根。

解 当a<-1时，a3+1<0，a2+1>0，a+1<0

而△=（a2+1）2+4（a3+1）（a+1）>0，可知方程有两个不相等的实数根，设方程的两根为x1、x2，则x1·x2=-<0，表明方程的两根为一正一负；

而x1+x2=->0，表明负根的绝对值小于正根，故选（C）。

例2 广东省（2009年）中考试题汇

已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，求c的取值范围。

集

（分析） 此题可根据根与系数的关系造出一个系数与c有关的新方程，再由△求出c的取值范围。

解 由已知，得a+b=-c，ab=故可把a、b看作关于X的方程x2+cx+=0的两个实数根，所以△=c2-≥0，即c<0或解得c<0或c≥23。

例3 黄冈市初中数学（2009年）中考题

已知菱形ABCD的边长为13，对角线AC、BD相交于点0，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2-（k-1）x+3（k+2）=0的两个实数根。

求（1）K的值；（2）OA、OB的长；（3）Rt△OAB斜边的高。

（分析） 解此题的关键是确定K的值，它既要△≥0，又要使方程的两根符号实际情况。而OA、OB既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边。由OA、OB作为桥梁把所有的关系串联起来便可求出K的值。

解 （1）由菱形的性质，得OA2+OB2=132，则（OA+OB）2-2OA·OB=169，由根与系数的关系可知：OA+OB=K-1，OA·OB=3（K+2），所以（K-2）2-6（K+2）=169，解得K=18或K=-10。

经检验： K=18或K=-10都能使△≥0，但是当K=-10时，OA+OB<0，OA·OB<0，不符合实际，故取K=18。

（2）把K=18代入原方程，可求出符合题意的OA、OB的长分别为12和5。

（3）应用面积法这种简便方法求得Rt△OAB斜边上的高为。

例4 四平市初中数学（2009年）中考试题

已知方程x2+（2t+1）x+（t2+2t+1）=0有两实数根 、 ，求 2+ 2的最小值。

（分析） 此题的解答过程，实际上是判别式和根与系数的关系的综合应用。因为 、 既涉及到判别式，又是根与系数关系的载体。

解 由已知，得△=（2t+1）2-4（t2+2t+1）≥0，解得t≤-，

又 2+ 2=（ + ）2- =2t2-1

因为t≤-，所以当t=-时， 2+ 2有最小值。

因此说，根与系数的关系在实际应用中和判别式同样重要，都是各类数学竞赛和水平测试的不可或缺的考察内容，应该引起我们在教学中的足够重视。同时，我们建议人教版实验教科书修订时在初三代数《一元二次方程》这一章里，把根与系数的关系和判别式摆在同样的位置上，改为课时教学内容，并在后面安排适当的练习题目。