线性代数在实际生活中的应用

杨杰 韦俊 葛玉凤 高侨 韩旭

摘要：线性代数是讨论矩阵、线性组合、有限维向量空间及线性变换的一门科学，本文阐述了线性代数和实际生活联系的密切性和广泛应用性，通过丰富有趣的实例将线性代数模型应用到实际生活中，并给出求解过程，进一步说明线性代数应用的广泛性。

关键词：线性代数模型生活应用

中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2016）06（a）-0000-00

线性代数与实际生活联系紧密并具有广泛的应用性，生活中一些难以解答的问题，如果能将之抽象成数学问题，且运用线性代数构造模型，这些问题将会得到较为简单的解决方案。本文通过生活中的一些实例阐述了线性代数模型的应用，下面就几个生活中的问题进行具体讨论。

一、线性代数与通入产出模型

投入产出分析是20世纪30年代由俄罗斯籍美国经济学家列昂惕夫（ 1906～1999）首先提出的，是经济分析的一种方法。为了进行生产，每个产业部门必须要有投入，这些投入包括原料、半成品和从其他部门购置的设备等，还需要支付工商税收、支付工资等。但在生产的过程中，既有物资方面（如原材料、设备、运输、能源）又有人力等方面的消耗。投入的目的是为了生产，生产的结果必然是要创造新的价值。总之，在物资方面的消耗和新创造的价值等于他的总产品的价值，就是“投入”和“产出”之间总的平衡关系。

下面是一个将产业部门简化为仅有农业、制造业和服务业构成的例子。假设没有进口，也不考虑折旧等因素，给出投入产出表（表1-1）

解：表1-1中数字表示产值，单位为亿元。每一行表示单位部门生产的用作各部门的投入的价值和提供给外部用户的分配，没一列表示一个部门需要投入的资源。用1，2，3分别表示农业、制造业和服务业；设 为部门 的总产值； 为部门 在生产中消耗部门 的产值（也称部门间的流量）； 为部门的 外部需求（也称部门的最终产品）。那么表1-1中行的基本关系为

将投入产出表1-1中的数字转换成表示每个部门的单位产值产出需要的投入更为方便，这样转换所得的表称为技术投入产出表，表中元素称为投入系数或直接消耗系数。将表1-1中各部门的投入除以该部门的总产出可得技术投入产出表（表1-2）

令 表示生产一个单位产值的产品 需要消耗产品 的产值（称为直接消耗系数）即

将它代入式（1-1）得

令T （称为直接消耗系数矩阵），向量x ，d 分别表示总产出向量和外部需求向量，则式（2-2）可写成矩阵形式

x = Tx + d或（E - T）x = d

（3-3）式称为产出平衡方程，它是投入产出中的基本平衡关系式，是进行一系列数值计算和经济分析的基础。

若令A = E - T，则式（2-2）最终化为

Ax = d，

其中 ，

在本例中，若直接消耗系数矩阵T不变，社会外部需求确定，可求出各部门的总产出x；若社会最终需求改变，那么相应的总产出应如何改变呢？这就需要对d求解线性方程组（3-3）.如果对任何的外部需求d（其元素不会出现负值），方程组都有非负解x（每个元素非负），就称此经济系统是可行的。

对上述矩阵A，求其逆矩阵 ，可得

其元素全部非负.因此对任何外部需求向量d（元素全部非负）解得的总产出 的元素也是全部非负，即此经济系统是可行的。

二、线性方程组在量纲分析模型中的运用

在力学中，任一物理量都可以表示为最基本的物理量—质量（M）、长度（L）和时间（T）的组合形式，这种组合形式称为这一物理量的量纲.如面积的量纲是 ，密度的量纲是 （或者 ）。值得注意的是量纲是独立于单位的例如，速度的量纲是 （或者 ），但它可以用英里每小时或米每秒为单位.通常用qim表示取量纲的运算，如面积A的量纲qimA ；速度v的量纲 qimv 等。

量纲齐次原则是指任一个有意义的方程必定是量纲一致的，即方程左右两边的量纲应保持一致。即有

qim左边 = qim右边.

同时，左边或右边的每一项也都必须有相同的量纲.只有量纲相同的项才可以相比较，相加减。

因此，我们来考虑下实际问题。

设长为l，吃水深度为h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量l，h，v以外，还与水的参数—密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g有关。下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系。

解：航船问题中涉及到的物理量有：阻力f，船长l ，吃水深度h ，船速v ，水的密度ρ，粘度μ，以及重力加速度g.要寻求的物理关系记作：

这是一个力学问题，基本量纲选为L，M，T，上述各物理量的量纲表为

式中μ的量纲由基本关系 得到.这里p是压强（单位面积受的力），所以 ；v是流速，x是尺度， ，代入可得μ的上述量纲.

由式（2-2）可写出量纲矩阵

经计算知矩阵A的秩R（A）=3.

解齐次线性方程组Ay=0 可得基础解系为

式（2-4）给出4个相互独立的量纲为1的量

而式（2-1）与

等价，Φ是未定的函数，式（2-5）和式（2-6）表达了航船问题中各物理量之间的全部关系.为得出阻力的显示表达式，由式（2-6）及式（2-5）中 的式子可写出

式中Ψ是一个未定函数，在流体力学中量纲为1的量 称为Froude数， 称为Reynold数，分别记作

式（2-7）又表示为

式（2-9）就是用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系.这个结果用通常的机理分析法是难以得到的.虽然函数Ψ的形式无从知道，但它的表达式在物理模拟问题中很有用途.

基本量纲的作用有些类似于线性代数中有限维空间中基的作用.基本量纲选择过少，无法表示各物理量；选择过多则会使问题复杂化.还应注意的是齐次线性方程组，虽然基本的基础解系可以有无穷多组，虽然基本解组能相互线性表示，但为了特定的建模目的恰当的构造基本解，能够更直接的得到期望的结果。

三、向量组的线性相关性在魔方中的应用

德国著名艺术家AlbrechtDurer（1471-1521）于1514年曾铸造一枚铜币.令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了符号、数字及几何图形.这里仅研究数字问题.

下面是一个由自然数组成的方块，称之为Dürer魔方.为什么称之为魔方？这种数字排列有什么性质？从方块的数字排列可以看出：

每行数字之和为34；每列数字之和也是34；对角线上的数字之和是34；若用水平线和垂直线把它平均分成四个小方块，每个小方块的数字之和也是34；若把四个角上的数字相加，其和还是34.

Dürer魔方定义：如果存在一个4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每一小方块上的数字和均相等且为一确定数，称这个数字方为Dürer魔方.

现在思考有多少个符合上述定义的魔方？是否存在构建所有魔方的方法？这个问题初看给人变幻莫测的感觉，但如果借助于向量空间，这个问题就很容易解答.

定义“0-方”和“1-方”如下

，

分别计算得，0—方中R=C=D=S=0， 1—方中R=C=D=S=4，其中R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和.

下面通过用0，1两个数字组合的方法构成R=C=S=1的所有魔方，称之为基本魔方

假设把一个Dürer魔方堪称一个向量，那么根据向量运算规则，对Dürer魔方可施行数乘、加减运算.

记

易验证：D对上述定义的数乘运算、向量加法运算封闭；D中元素的线性组合构成新的魔方D构成向量空间，称为Dürer魔方空间.

D是向量空间，存在基向量，基向量是线性无关的，并且D中任一元素都可以由基向量线性表示.

等式两边对应比较得： ，所以 线性无关.因此 是D的一组基，D中任一元素都可由 线性组合生成， 可以这样认为： 是D的生成集，但不是最小的生成集，而 是D的最小生成集.

现在回到AlbrechtDurer铸造的铜币.用 的线性组合表示铜币上的魔方， ，即解方程组

解得 .

改变对Dürer魔方数字和的要求，可以利用线性子空间的定义，构造D的子空间或D空间的扩展.1967年，Botsch证明了可以构造大量的D子空间或D的扩展空间.对于1至16之间的每一个数k，都存在k维类似 方的向量空间.

四、小结

线性代数在实际中的应用往往是综合性的，单单某个章节在某些方面的具体应用很难找到.如矩阵的特征值与特征向量问题，在控制论中讨论系统（机械振动、弹性震动、电磁震荡等）的稳定性以及生物物种存在的状态和趋势中有着广泛应用，但要牵涉到微分方程组的建立和其他的相关知识内容，以上几例仅仅说明了一小部分线性代数在某些生活领域中的应用。实际上，线性代数在实际生活中的应用相当广泛，在这里笔者不再一一列举。

参考文献

[1]陈东升.线性代数与空间解析几何.北京：机械工业出版社，2008

[2]丘维声.高等代数（第二版）上册.北京：高等教育出版社，2004

[3]丘维声.高等代数（第二版）下册.北京：高等教育出版社，2004