二项分布的计算

张琳

摘 要：二项分布是概率论中重要的分布之一，在实际中也有着广泛的应用，因此它的计算十分重要，本文就二项分布的近似计算进行了简单的讨论。

关键词：二项分布；泊松分布；正态分布

二项分布是概率论中最重要的分布之一，在实际问题中也有着广泛的应用。但是，当二项分布的第一个参数较大时，它的计算变得比较复杂，因此需要借助泊松分布或者正态分布等进行近似。

一、二项分布介绍

在同一条件下独立重复进行次试验，每次试验只有两种可能结果与，且每次试验中，，事件出现的次数记为随机变量，则服从参数为的二项分布，记为，且有

二、二项分布的近似计算公式

从二项分布的定义可以看出，当参数较大时，其计算比较复杂，因此有如下结论：

定理1：（泊松定理）设随机变量，（是一个常数），则有，

定理1表明，当足够大，不大，且为常数时，二项分布可以用泊松分布近似计算，近似为参数为的泊松分布。

定理2：（隶莫弗—拉普拉斯中心极限定理）设随机变量，则对于任意的，有

定理2表明，当二项分布中参数充分大时，可以用正态分布近似计算二项分布，。

三、近似计算

例1：某汽车站有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某个时间段内出事故的概率為，在某天这段时间内有辆汽车通过，则这段时间内出事故的次数不小于的概率是多少？

解：设为出事故次数，则，

且，

①用二项分布自身求解，则

②由于此题很大，相对很小，且也不大，因此可以用泊松分布近似

从结果看出，用泊松分布的近似度是很高的。

③此题很大，也可以考虑用正态分布近似

近似服从

此题用正态分布计算，结果几乎为零，不是非常合适。

例2：若随机变量，同样计算

且，

①用二项分布自身求解，则

②由于此题很大，相对也较小，且也不大，用泊松分布近似得

此题用泊松分布的近似度仍然很高。

③再次考虑用正态分布近似

近似服从

从结果看出，此二项分布用正态分布近似，结果还是不错的。

例3：若随机变量，

且，

若计算，数值太小，几乎为零，所以我们计算此二项分布的最可能值的概率，即计算

①用二项分布自身求解

=

②由于此题很大，其实不小，且较大，若用泊松分布近似得

=

其实近似度大约为95%，仍然很高

③再次考虑用正态分布近似

近似服从

从以上计算可以看出，只要比较大，用泊松分布近似二项分布还是比较合理的，但是越小近似度越高。用正态分布近似二项分布，则越大，方差越大，近似度越好。

参考文献：

[1]隋亚莉，李鸿儒.概率统计[M].长春：吉林人民出版社，2000.

[2]吴传生.经济数学—概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J]，企业科技与发展，2008年第20期.

[4]张艳.谈二项分布的近似计算及其在保险问题中的应用[J].鸡西大学学报，2012年弟1期.

[5]杨雪梅.用正态分布进行近似计算公式的改进[J].咸阳师范学院学报，2005年第2期.

（作者单位：山东工商学院数学与信息科学学院）