实对称矩阵的2种特殊分解及其应用

呙林兵

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

邹新民

(湖北省监利中学，湖北 监利 433300)



实对称矩阵的2种特殊分解及其应用

呙林兵

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

邹新民

(湖北省监利中学，湖北 监利 433300)

[摘要]对称矩阵有很多特殊的性质，其分解形式也有很多种，但较少涉及实对称矩阵与可逆对称矩阵尤其是与矩阵的主子式之间的关系。根据对称矩阵的特点给出了实对称矩阵A的第一种特殊的分解形式A=QTDQ(Q为秩为r的r×n阶矩阵，D是r阶的可逆对称矩阵)，再利用这种分解形式得到了关于秩为r的n阶实对称矩阵的任一r阶子式的一个重要结论，从而导出了实对称矩阵与主子式相关的另一种重要分解形式，并给出了这2种分解式在矩阵中的一些应用，对实对称矩阵研究有一定的指导意义。

[关键词]对称矩阵；可逆矩阵；主子式

矩阵的分解形式有许多形式，在很多文献[1,2]中有新的突破，对称矩阵的分解也有新的研究，得到了一些重要结论[3,4]，但较少涉及实对称矩阵与可逆对称矩阵尤其是与矩阵的主子式之间的关系。下面，笔者利用矩阵的相关知识对此进行了研究，得到了实对称矩阵2种特殊的分解形式，并得出了一些重要结论。

1引理

引理1[5]设A是秩为r的n阶方阵，则必存在n阶可逆矩阵P，使得：

式中，B为秩为r的r×n阶矩阵。

证明对秩为r的n阶方阵A，必有n阶可逆矩阵Q，R[6]，使得：

且B为秩为r的r×n阶矩阵。

2主要结论

定理1设A是秩为r的n阶实对称矩阵，则A必可分解为：

A=QTDQ

式中，Q为秩为r的r×n阶矩阵；……