列车工作轮热锻成形问题的无网格EFGM分析

杨垠耘，刘泓滨，刘欣玮

（昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650504）

列车工作轮热锻成形问题的无网格EFGM分析

杨垠耘，刘泓滨，刘欣玮

（昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650504）

基于伽辽金型无网格理论和紧支试函数加权残量法理论基础，在确定近似函数定义域及节点支撑域的前提下，利用移动最小二乘近似构造了满足条件的权函数，在弹性力学控制方程的基础上构造伽辽金型无网格格式，对比选择积分方案，寻找引入试探函数约束条件的合适方法以确定边界条件处理方式，建立了三维弹塑性EFG模型。将所建模型运用到某重装企业的列车工作轮锻件生产研究中，对热锻过程中的材料特性参数、锻件尺寸参数等进行了全面的EFG和FEM模拟，通过与实验数据的对比分析，验证了EFG模型的正确性和EFGM在分析金属塑性成形过程的优越性，对实际生产研究具有一定的参考价值。

锻造成形；EFG法；FEM法；列车工作轮

计算力学的发展面临着许多难以处理的问题[1]，如金属塑性成形问题是典型的计算力学难题，其原因是由于传统的有限元法依赖于网格，而大变形问题会使网格产生严重畸变导致计算终止，网格重构又会增加计算量且大大降低计算精度[2]。20世纪90年代中期，无网格法的兴起有效解决了此问题，其求解思路是：将求解域和边界离散为有限数目的节点，对求解域中任一点处的场变量用该点支撑域中的节点的函数值进行局部近似，然后根据不同的离散方法，形成无网格法的离散方程，最后把基于点的离散方程组装为总体刚度方程并进行求解。由于无网格法不依赖于网格，避免了网格畸变问题，提高了求解精度[3]。

经过近三十年的发展，无网格法已日趋成熟，并大量运用在金属塑性成形问题中。其中，运用紧支试函数加权残量法，基于移动最小二乘近似的无网格伽辽金法（Element-free Galerkin Method，EFGM）[4-6]，由于其具有稳定性好、协调性强等特点，在金属塑性成形的计算分析中表现出了较明显的优势。本文以某企业实际生产研发中的某型号列车工作轮为例，建立FEM及EFG分析模型，分别运用两种模型对列车工作轮热锻成形过程进行模拟仿真，拟通过其仿真结果与实验数据的对比分析，验证EFG模型的正确性和优越性。

1 基本原理

EFGM属伽辽金型无网格法，其原理是通过伽辽金法对控制方程进行离散，检验试探函数可以采用哪种加权残量法进行建立并进行计算。从弹性力学的控制方程出发，在考虑其给定的体力、面力和本构张量的前提下，将权函数取为真实位移的变分δui及其边界值的负值，由加权残量法可得到弹性力学控制方程中的平衡方程和力边界条件的等效积分形式：

式（1）中，考虑到应力张量σij的对称性以及δui｜Γu=0，写成矩阵形式有：

式中：u——位移矩阵；

将式（2）与紧支近似函数的形函数理论结合得：

式中：

由以上格式可见，伽辽金型无网格法的格式与有限元法的格式非常相似。

1.1 紧支近似函数

紧支函数是定义在局部区域（支撑域）中的函数，它只在其支撑域中有定义，而在其支撑域外为零。对二维问题，函数u（x）可以用与一组离散节点 xI（I=1，2，……，N）相对应的紧支函数NI（x）的线性组合近似为：

式中：

紧支试函数NI（x）也称为形函数。多维问题与此类似，即：

1.2 权函数

权函数ωI（x）的选择对计算结果影响十分巨大，而用非负偶函数进行权函数选择时，必须满足以下几个条件[7]：

①当‖x-xI‖＜rImax时，ωI（x）＞0；当‖x-xI‖＞rImax时，ωI（x）=0，其中，rImax为节点I影响区域大小的度量；

③ωI（x）是关于r的单调递减函数，其中，r为节点xI与计算点x之间的距离；

④当rImax→0时，ωI（x）→δ（r）。易知，ωI（x）在xI处的值最大，且具有紧支性。

权函数的选择和计算与节点影响域的选择密不可分，在三维问题中，影响域形状一般选为球体和长方体。常用的球形影响域权函数有指数函数、高斯函数等。

指数函数：

高斯函数：

而长方体的节点影响域权函数为：

1.3 位移边界条件的处理

无网格法的近似函数和有限元法最大区别在于其近似函数大都不是插值函数[8]，即NI≠δIJ，位移边界条件的处理较为困难。伽辽金弱形式要求试探函数u（x）预先满足位移边界条件。在无网格法中，试探函数一般不能预先满足位移边界条件，因此需要用其他方法引入试探函数的约束条件。

常用的处理方法有：拉格朗日乘子法、修正变分原理、罚函数法、位移约束方程法、边界变换法[9]。其中，用拉格朗日乘子法施加位移边界条件的精度较高，位移约束方程法主要从式（3）的解向量d必须满足位移约束方程入手进行求解，很容易在任何伽辽金型无网格法中实现，边界变换法则是在伽辽金型无网格法中施加给定位移边界条件的一种很有效的方法。本例中选用拉格朗日乘子法。

将弹性力学控制方程中位移边界条件ui=u¯i引入式（2）中，得：

为用来离散拉格朗日乘子向量的形函数矩阵。

用拉格朗日乘子法将约束条件式Hd=d引入式（2）中，得：

由此得：

值得一提的是，在MLS近似中，如果权函数为奇异函数，则近似函数具有差值特性，因而可直接施加位移边界条件。

2 列车工作轮毛坯热锻成形过程模拟

列车工作轮在列车工作运行中发挥着至关重要的作用，由于其工作性质具有高速、高温、高载荷等特点，而列车轮的可靠性又直接关乎着列车能否正常安全运行，并且列车工作轮形状尺寸相对比较复杂，热锻过程中易出现折迭、脱碳、裂纹、充型不满等缺陷[10]，所以对列车工作轮毛坯的锻造要求较高。在协作厂进行产品研发过程中，发现仅以试模为基本开发手段很难完全满足列车轮需要达到的尺寸和性能要求，成形结果也不理想，且试模过程需要很大成本投入和较长研发周期，大大降低了工作效率。所以笔者提出用计算机仿真的方法进行产品辅助研发，并根据实际情况，拟用不同手段对热锻过程进行仿真分析，对比有限元与无网格伽辽金法，找到更适合进行金属热锻分析的仿真手段，为企业实际生产提供一定指导作用。

锻造过程需要的实际模具及建模模型如图1、2所示，本次仿真所需工艺参数如表1所示。

图1 上模实图及模型

图2 下模实图及模型

表1 列车工作轮工艺参数

对此热锻成形过程进行数值仿真，从以下三个工序进行分析：①模拟坯料从加热炉取出至模具，这10s内的热传递过程。这是考虑从加热炉里取出到锻造之前，工件和空气之间存在热量交换；②模拟坯料停留在下模上，这3s时间内与下模的热传递过程；③模拟热传递和金属变形共同耦合作用下的热锻成形过程。

坯料在模具压力作用下产生镦粗，金属沿阻力较小的上端流动到下部的粗段。随着锻锤下压，金属阻力逐渐增大，金属不断被挤入型腔，直至充满型腔。列车工作轮终锻成形模型如图3所示。

图3 成形锻件的有效应力分布和金属流动分布云图

从图3可以看出，应用FEM法对列车工作轮毛坯的热锻成形过程进行仿真分析，所得结果中有效应力分布情况及金属流动规律与实际锻件成形结果相近，验证了此次仿真的有效性和可行性，热锻过程的模拟结果是可以采用的。但对其仿真结果进行尺寸分析后发现，其成形尺寸与实际锻件要求存在出入，这是由于有限元分析过程中网格畸变后重划分所造成的误差。

采用相同条件对无网格EFG法的列车工作轮毛坯热锻成形过程进行仿真。图4为Y方向位移云图，图5为X-Z方向位移云图。

图4 Y方向应力云图

图5 X-Z方向位移云图

从图中可以看出，在锻压过程中，列车轮毛坯内侧受到Y方向的应力最大，所以Y方向位移变形量也最大，而充型过程中，车轮外圈由于受到横向应力最大，其横向变形量也最大。由结果可看出，仿真过程与生产实际情况相符，EFG法由于不依赖于网格，很好地避免了由于网格畸变而造成的不良影响。

图6 EFG与FEM内能

图6为两者内能对比，从图中可以看出，两种仿真方法所示的能量曲线是比较接近的，在初始阶段，内能增长较为缓慢，随着坯料不断成形，内能呈现急剧上升趋势。图中可以清晰看出，EFG法仿真所得内能的增长幅度和最终值略大于FEM法所得结果，这是由于EFG法是在全局离散条件下进行计算的，其局部变形导致质点间相互作用所得能量叠加，致使总体能量增加幅度变大，其变形的区域也更大，内能便更大。图7为EFG与FEM沙漏能折线图，从图中可以看出，FEM的沙漏能在列车工作轮毛坯变形量较小时，沙漏能呈缓慢线性增长，而当变形量达到一定程度时（1.3s左右），EFG的每步变形量开始比FEM大，当锻压时间达到1.8s左右，FEM的沙漏能便开始急剧增加，此时EFG的沙漏能一直为零。这是由于EFG模拟时，背景网格不参与计算，所以不会出现沙漏现象。对比结果说明EFG模型比FEM模型更加精确和稳定。

图7 EFG与FEM沙漏能

对列车工作轮热锻过程进行试验验证，并选取D1、D2、D3、H1和H2（图8）5个重要试验尺寸参数与FEM和EFG结果进行对比，对比结果如表2所示。

图8 列车工作轮示意图

从表2可以看出，EFG与FEM的仿真参数均在工艺参数要求范围内，说明此次仿真结果是正确的。从两种方法与实际试验偏差可以看出，EFG的偏差值明显小于FEM的偏差值，这是由于FEM法在仿真过程中由于网格畸变而需多次划分网格造成精度下降，而EFG法由于不依赖于网格，所以仿真精度更高。因此，EFG较FEM更精确。

3 结论

仿真分析结果表明，EFG法由于其在处理金属塑性成形问题时，不依赖于网格，没有沙漏现象，且不需要在计算过程中进行多次网格划分，通过EFG法及FEM法与试验零件主要尺寸参数的对比，验证了EFG较FEM更加稳定和精确，充分说明了EFG法在处理金属塑性成形问题上的可行性和优越性，为列车工作轮的生产研究工作提供了一定参考。

表2 尺寸对比

[1]卿启湘，李光耀，刘潭玉.棒材拉拔问题的弹塑性无网格法分析[J].机械工程学报，2004，（1）：85-89.

[2]张 雄，刘 岩.无网格法[M].北京：清华大学出版社，2004.

[3]赵国群，王卫东.金属塑性成形过程无网格数值模拟方法[M].北京：化学工业出版社，2013.

[4]Chung H J， Belytschko T. An error estimate in the EFG method[J].Computer Mechanical，1998，（21）：91-100.

[5]Lu Y Y，Belytschko T，Tabbara M.Element-free Galerkin methodsforwave propagation and dynamic fracture [J]. Computer Methods Application Mechanical Engineering，1995，（126）：131-153.

[6]Belytschko T，Fleming M.Smoothing enrichment and contact in the element-free Galerkin method[J]. Computational Structure，1999，（71）：173-195.

[7]Belytschko T， Krongauz Y， Organ，D， et al. Meshless methods： an overview and recent developments[J].ComputerMethodsin Applied Mechanics and Engineering，1996，139：3-47.

[8]李长生，熊尚武，Rodrigues J.金属塑性加工过程无网格数值模拟方法[M].沈阳：东北大学出版社，2004.

[9]Liu GR，Gu YT，王建明，等.无网格法理论及程序设计[M].济南：山东大学出版社，2007.

[10]锻件质量分析编写组.锻件质量分析[M].北京：机械工业出版社，1983.

Meshless EFG analysis of hot forging problems for train wheel

YANG Yinyun,LIU Hongbin,LIU Xinwei
（Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology,Kunming 650504,Yunnan China）

The Galerkin meshless theory and the compact supported trial function weighted residual method theory have been adopted.On the premise of determining the approximate function and the nodes'support domains,the weight function has been built by use of the moving least-square approximation,which can meet the conditions.The Galerkin meshless format has been established on the basis of elastic mechanics control equation.The integral solution has been compared and selected.The suitable method to introduce the trial function's constraint conditions in order to determine the right handle way for boundary conditions has been searched.Thus in this way,the EFG3D elastic-plastic model has been established.The model has been applied into the production study of train wheel forging from some enterprise.The EFG and FEM simulation has been conducted to the whole forming process,including the material parameters and the forging size,etc. By comparison and analysis with the experiment data,the correctness of EFG model and the superiority of EFG method in analysis of hot forming process have been verified.It provides certain reference for practical production study.

Element-free Galerkin Method（EFG）;Finite Element Method（FEM）;Train wheel;Hot forging forming

TG316.4

A

10.16316/j.issn.1672-0121.2016.06.016

1672-0121（2016）06-0060-05

2016-08-02；

2016-09-24

昆明理工大学学生课外学术科技创新基金资助项目（2015YB017）

杨垠耘（1989-），男，硕士在读，主攻塑性成形数值模拟、数字化设计与制造等。E-mail：840217459@qq.com