黎曼流形上的广义向量似变分不等式和向量优化问题

陈胜兰，方长杰

黎曼流形上的广义向量似变分不等式和向量优化问题

陈胜兰，方长杰

(重庆邮电大学理学院，重庆400065)

利用黎曼流形上广义次微分的概念，定义Minty型和Stampcchia型的广义(弱)向量似变分不等式，并在不变凸性的假设下建立向量优化问题与广义弱向量似变分不等式的等价关系.方法和结果是新的，且推广了这一领域内许多已知结果.

黎曼流形;广义向量似变分不等式;不变凸函数;向量优化

基于黎曼流形上的变分不等式首先是由S.Z.Németh［1］提出来的.在文献［1］中，S.Z.Németh研究了Hadamard流形上的变分不等式解的存在性等问题.本文的目的是研究黎曼流形上非可微向量优化问题和广义弱向量似变分不等式解的等价性.本文的方法和结果是新的，所得结论推广了文献［2－3］中的相应结果.

1 预备知识

文中有关黎曼流形的概念，如黎曼流形M上的局部Lipschitz函数、切空间TxM、切丛TM、余切空间TxM*、坐标卡、平行转移等可参见文献［4－ 11］.

定义1.1［9］设函数f:M→R在点x∈M附近满足局部Lipschitz条件，(U，φ)是包含点x的坐标卡，则f在点x处沿方向v∈TxM的广义方向导数定义为

定义1.2［9］设函数f:M→R在点y∈M附近满足局部Lipschitz条件，点y的余切空间TyM*的子集

称为函数f在点y的广义次微分.

引理1.1［9］设M为有限维黎曼流形，x，y∈M，γ:［0，1］→M是一连结x和y的光滑曲线.设f在γ［0，1］上是局部Lipschitz的，则存在0＜t0＜1和ξ∈ɚf(γ(t0))使得

引理1.2［9］设函数f:M→R在点x∈M附近满足局部Lipschitz条件，则有:

(i)ɚcf(x)是TxM*的非空凸紧子集，且对任意的ξ∈ɚcf(x)，有‖ξ‖*≤K，其中K为Lipschitz常数;

(ii)设{xi}和{ξi}分别是M和TxM*中的2个序列，且ξi∈ɚcf(xi).若{xi}收敛于x，且{(ξi)}收敛于ξ(其中，γ(ti)=xi，γ(t)=x)，则有ξ∈ɚcf (x).

定义1.3［5］设K为M的非空子集，η:M×M→TM为一向量值函数，且对任意的x，y∈M有η(x，y)∈TyM.若对任意的x，y∈K，存在唯一的测地线γ:［0，1］→M使得

则称K关于η为不变凸集.

注1.1在上述定义中，考虑γ(t)，γ(u)∈K，并定义

β(s)=γ((1－s)u+st)，∀s，u，t∈［0，1］，则β是连接γ(u)和γ(t)的唯一测地线，且有现在给出黎曼流形上定义在开不变凸集上的不变凸函数的定义.

定义1.4［5］设K关于η为不变凸集，f是K上的局部Lipschitz函数，如果对任意的x，y∈K有

则称f在K上是关于η的不变凸函数.由上述定义不难证明下述引理.

引理1.3设K关于η为不变凸集，f是K上的局部Lipschitz函数.若f在K上关于η为不变凸函数，则对任意的x，y∈K，有如下不等式成立

定义1.5［5］设K关于η为不变凸集，f是K上的实值函数，若对任意的x，y∈K有

f(γ(t))≤tf(x)+(1－t)f(y)，∀t∈［0，1］，则称f关于η是预不变凸函数，其中γ是定义1.3中的唯一测地线.

引理1.4设K关于η为不变凸集，f是K上的局部Lipschitz函数.若f是关于η的不变凸函数，则f亦为关于η的预不变凸函数.

证明类似文献［5］中的定理4.2可证.

设K为M的非空子集，f:K→Rp为一向量值函数，且f=(f1，f2，…，fp).下面考虑黎曼流形M上的向量优化问题(VOP)

定义1.6［12］设珋x∈K，则有:

(i)如果对∀x∈K有

则称珋x∈K为(VOP)的有效解;

(ii)如果对∀x∈K有

则称珋x∈K为(VOP)的弱有效解.

类似于欧氏空间关于向量(似)变分不等式的定义(可参见文献［13－16］)，下面引入黎曼流形上广义向量变分不等式的概念.

定义1.7设fi(i∈J={1，2，…，p})在K上是局部Lipschitz函数，则有:

(i)Minty型广义向量似变分不等式(GMVVLIP)是指寻找x∈K，使对∀y∈K和ξi∈ɚfi(y)(i∈J)有

(ii)Stampacchia型广义向量似变分不等式(GSVVLIP):寻找x∈K，使存在ξi∈ɚcfi(x)(i∈J)，且对∀y∈K有

(iii)Minty型广义弱向量似变分不等式(GWMVVLIP)是指寻找x∈K，使对∀y∈K和ξi∈ɚfi(y)(i∈J)有

(iv)Stampacchia型广义弱向量似变分不等式(GWSVVLIP):寻找x∈K，使存在ξi∈ɚcfi(x)(i∈J)，且对∀y∈K有

注1.2若M=Rn，则上述定义为文献［2－3］中所讨论的Minty型和Stampcchia型向量变分不等式.

2 主要结果

下面主要讨论黎曼流形上广义向量变分不等式和向量优化问题的等价关系.

定理2.1设M为有限维黎曼流形，K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且为关于η的不变凸函数，则x∈K是(VOP)的有效解当且仅当x亦是(GMVVLIP)的解.

证明设x∈K是(GMVVLIP)的解，但x不是(VOP)的解，则存在y∈K使得即有

且在某个k∈J处取严格不等式.

因K关于η为不变凸集，则存在唯一测地线γ:［0，1］→M使得

由引理1.4，每个fi(i∈J)关于η是预不变凸函数，故有

即

现定义β:［0，1］→M如下

由引理1.1知，存在li∈(0，t)和ξi∈ɚcfi(β(li))使得

其中，ai=lit＜t，zi=γ(ai).

结合(1)～(3)式，对∀i∈J有

且在某个k∈J处取严格不等式.现取t0∈(0，1)使对任意的i∈J有t0＜ai.由注1.1知

及

由(4)和(5)式可得

且在某个k∈J处取严格不等式.因fi关于η为不变凸函数，由引理1.3可知

且在某个k∈J处取严格不等式.又η(x，γ(t0))= (－t0)γ'(t0)，由(6)和(7)式可得

且在某个k∈J处取严格不等式.因此，对所有ζi0∈ɚcfi(γ(t0))(i∈J)有

而这与x是(GMVVLIP)的解矛盾.

反之，若x是(VOP)的解但不是(GMVVLIP)的解，则存在y∈K及ξi∈ɚcfi(y)(i∈J)使得

且在某个k∈J处取严格不等式.由fi关于η的不变凸性，可知

且在某个k∈J处取严格不等式，即有

而这与x是(VOP)的有效解矛盾.证毕.

定理2.2设M为有限维黎曼流形，K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数.若x∈K是 (GSVVLIP)的解，则x为(VOP)的有效解，且亦是(GMVVLIP)的解.

证明因x∈K是(GSVVLIP)的解，对任意的y∈K，存在ξi∈ɚcfi(x)(i∈J)使得

由于每个fi关于η是不变凸函数，所以

由(8)和(9)式可得

这表明x是(VOP)的有效解.由定理2.1知，x亦为(GMVVLIP)的解.证毕.

定理2.3设K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数.如果x∈K是(GWSVVLIP)的解，那么x亦是(GWMVVLIP)的解.

证明设x∈K是(GWSVVLIP)的解，但x不是(GWMVVLIP)的解，则存在y∈K和ξi∈ɚfi(y)(i∈J)使得

即

又fi关于η为不变凸函数，由引理1.3有

而这与x是(GWSVVLIP)的解矛盾.证毕.

定理2.4设K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数.如果x∈K是(GWMVVLIP)的解，那么x亦是(GWSVVLIP)的解.

证明设x∈K是(GWMVVLIP)的解.设y∈K和{tm}↘0且tm∈(0，1］，因K⊆M关于η为不变凸集，则存在唯一测地线γ:［0，1］→M使得

又x∈K是(GWMVVLIP)的解，所以对ξm

i∈ɚcfi(γ(tm))(i∈J)有

由注1.1知

又fi(i∈J)为局部Lipschitz的，由引理1.1(ii)知存在k＞0，当m充分大时有

故

故x是(GWSVVLIP)的解.证毕.

由定理2.3和2.4有如下结论.

定理2.5设K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数，则x∈K是(GWMVVLIP)的解当且仅当x是(GWSVVLIP)的解.

定理2.6设K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数.如果x∈K是(GWSVVLIP)的解，则x是(VOP)的弱有效解.

证明设x∈K是(GWSVVLIP)的解但不是(VOP)的弱有效解，则存在y∈K使得

上式等价于

由于fi(i∈J)关于η是不变凸的，所以

即有

而这与x是(GWSVVLIP)的解矛盾.证毕.

定理2.7设K⊆M关于η为不变凸集.对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数.如果x∈K是(VOP)的弱有效解，那么x是(GWMVVLIP)的解.

证明设x∈K是(VOP)的弱有效解但不是(GWMVVLIP)的解，则存在y∈K和ξi∈ɚcfi(y)(i∈J)使得

即对∀i∈J有

由fi(i∈J)关于η的不变凸性知

而这与x是(VOP)的弱有效解矛盾.证毕.

由定理2.5～2.7可得到下述结果.

定理2.8设K⊆M关于η为不变凸集，对∀i∈J，fi:K→R在K上是局部Lipschitz的，且关于η是不变凸函数，则x∈K是(VOP)的弱有效解当且仅当x是(GWSVVLIP)的解.

注2.1定理2.1～2.8将欧氏空间中的相关结论(如文献［2，3］)推广到了黎曼流形上.

致谢重庆邮电大学博士启动基金项目(A2015－19)对本文给予了资助，谨致谢意.

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Generalized Vector Variational-like Inequality and Vector Optimization Problem on Riemannian Manifolds

CHEN Shenglan，FANG Changjie
(College of Science，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065)

In this paper，we introduce a Minty type vector variational inequality，a Stampacchia type vector variational inequality，and the weak forms of them，which are all defined by means of generalized subdifferentials on Riemannian manifolds.We also establish a relationship between generalized vector variational-like inequalities and nonsmooth vector optimization problems on Riemannian manifolds under the assumption of invexity or invariant monotonicity.Our approach and results are new and generalize many known results in this field.

Riemannian manifold;generalized vector variational-like inequality;invex functions;vector optimization problem

O186.12;O224

A

1001－8395(2016)03－0332－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.006

(编辑李德华)

2015－03－13

国家自然科学基金(11426055)和重庆市教委科研项目(KJ070514)

陈胜兰(1981—)，女，讲师，主要从事优化理论及应用的研究，E－mail:chensl@cqupt.edu.cn

2010 MSC:53C25;26D20;58E35