湖南高考文科数学近三年平面向量综合题解法的探讨

申一健

摘 要：近三年湖南省高考文科数学对平面向量的考查呈现出的特点。

关键词：湖南高考文科数学；平面向量综合题；解法探讨

近三年湖南省高考文科数学对平面向量的考查呈现出如下的特点：（1）难度中等偏上或难题；2013年是第8题、2014年第10题与2015年第9题；（2）以向量的模为求解背景较全面考查平面向量的数量积、加减运算的几何法则、坐标运算等；（3）试题命制灵活，求解方式多样。三年的试题实录为：

2013年：（2013·湖南高考文科·T8）.

已知是单位向量，=0.若向量满足则的最大值为（ ）

A. B. C. D.

2014年：（2014·湖南高考文科·T10）

2015年：（2015·湖南高考文科·T9）

已知点A，B，C在圆 上运动，且AB ，若点P的坐标为（2，0）则的最大值为

A.6 B.7 C.8 D.9

一、基本解法

三题中题设或结论均含有多个向量和差的模，基本的解法就是利用和差向量的坐标运算来完成。具体为：

（1）2013年题将a，b视为i，j，建立直角坐标系，设m=a+b，a=（1，0），b=（0，1），m=（1，1），令c=（x，y），则c-m=（x-1，y-1），由已知|c-a-b|=|c-m|=1，得：（x-1）2+（y-1）2=1，

∵c=OC，∴|c|=|OC|，由圆的相关知识易得：|c|max=|m|+1=+1.

（2）2014年题的解法与13年类似。设D（x，y），∵|CD|=1，∴（x-3）2+y2=1，

令OM=OA+OB，OM=（-1，），OA+OB+0D=OM+0D=（x+1，y-），|OA+OB+0D|==|MD|，其最大、小值容易圆的相关知识得到，从而得到取值范围。

（3）2015年题与14年都在已建立的直角坐标系中，自然也可用坐标法处理。

依题意，A、C关于原点O对称，∴PA+PC=2PO=（-4，0），令B（x，y），PB=（x-2，y），

∴PA+PC+PB=（x-6，y），|PA+PB+PC|==|MB|，其中M（6，0），容易由圆的相关知识求出|PA+PB+PC|的最大值。

小结：近三年湖南省高考文科数学有关平面向量的考题解法共性明显：利用向量的坐标运算，将问题转化到圆的知识上，求出结果。

二、解法的多样性

1.高考数学题特别是各种题型的压轴题一般有多种解法，这体现命题者的智慧。上述三题是当年选择题中的较难题；平面向量是高中数学知识综合度较高的章节，一般平面向量的题大多有多种解法。……