从运动变化的过程中寻找问题的答案

在近几年全国各地的高考试题中，加大了对运用用数学思想方法解决问题的能力的考查，而函数的思想是数学思想方法的核心.从运动变化的观点观察问题、分析问题是函数思想的精髓.取值范围问题和最值问题是我们经常遇到的问题，它更是高考考查的重要题型，这些问题中都含有变化的图形或变化的量，研究它们的变化过程和变化规律，是解决这类问题的基本方法，这种从运动变化的观点解决问题常常可以使解题过程更加简捷直观.

例1在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.

分析：从条件看，四边形ABCD的边BC的长度和四个角的大小是确定的，而其它三边的长度是变化的，我们可以让点A、D动起来，观察它们的变化规律.

解：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即BFsin30°=2sin75°，解得BF=6-2，又因为ABCD是四边形，所以AB的取值范围为（6-2，6+2）.

例2已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），则OA与OB夹角的取值范围是.

分析：题中的点B、C是确定的，点A随着α的变化而变化，故需研究点A的变化规律，即研究点A的轨迹.

解：因为|CA|=2，所以点A在以C为圆心，2为半径的圆上运动，过原点作此圆的切线，那么得到两条切线，这两条切线的倾斜角分别为π4-π6=π12和π4+π6=5π12，从而向量OA与OB夹角的范围是[π12，5π12].

例3满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值为.

分析：如果固定点A、B，让点C运动，建立适当的平面直角坐标系后可求出点C的轨迹方程，再用数形结合的方法就能求出三角形……