*1耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值更精细的渐近式

王　琳,王雅婧

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030013)



*1耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值更精细的渐近式

王琳,王雅婧

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030013)

〔摘要〕文章运用《常微分算子谱论》中同阶无穷小的比较,给出了耦合边界条件下的Sturm-Liouville问题特征值的更精细的渐近估计.

〔关键词〕Sturm-Liouville问题;特征值;渐近式

0引言

对于Sturm-Liouville问题已经有了大量研究,文献[1-3] 得出Sturm-Liouville问题存在可数个实的单重特征值,并且给出特征值及特征函数的渐近式.

文献[4-5]分别给出了分离边界条件及耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值及特征函数的较精细的渐近式.本文将在文献[5]的基础上运用同阶无穷小的比较,给出耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值的渐近式(比文献[5]的结果更精细).

1预备知识

对于耦合边界条件下的Sturm-Liouville问题:

(1)

其中a,b,c,d,θ∈R,且ad-bc=1.

当势函数越光滑时,得到的渐近式的结果将会越精细.

设φ(x,λ),ψ(x,λ)分别为下面两个柯西问题的解:

记λ=s2,s=σ+it,则有:

当q∈C1[0,π]时,

引理3[5]当b≠0时,S-L问题(1)的特征值sn的渐近式为:

2b≠0时,Sturm-Liouville问题(1)特征值的渐近式

当q∈C3[0,π]时,可以得到比引理3更精细的结论:

定理当b≠0时,S-L问题(1)的特征值sn的渐近式为:

证明由边界条件得2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,其中

将引理2中得到结论代入引理1可得:

将上面得到的φ(x,λ),ψ(x,λ)代入A,B,则:

于是,利用三角函数二倍角公式可得,

将上述结论代入2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,令sn=n+δn,利用余弦函数的泰勒展式及引理3的结论,可得

所以特征值

参考文献：

[1]刘景麟.常微分算子谱论[M].北京:科学出版社,2009:52-60

[2]袁小平.混合自伴边条件下的正则Sturm-Liouville问题[J].内蒙古大学学报(自然科学版),1990,21(1):35-41

[3]曹之江.常微分算……