浅析高考中常用的数学思想

曾润展

摘 要： 数学学习重在掌握思考方法、思维方式.高考中很多题目考查的往往是学生应用数学思想方法解决问题的能力.

关键词： 函数与方程 数形结合 化归与转化 分类讨论

数学学习重在掌握思考方法、思维方式.高考中很多题目考查的往往是学生应用数学思想方法解决问题的能力.高考作为一种选拔性考试，其题目往往对学生的数学概念、知识迁移能力、思维能力的开放性与连贯性有较高的要求.在其考查中用到的数学思想有很多，常用的主要有：函数与方程，数形结合，化归与转化，分类讨论.下面我仅以部分高考题为例叙述这几种数学思想的应用.

一、函数与方程的思想

数学中利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图像求解，使得问题简单明了，这体现了不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时，求参数的范围，一般用数形结合法求解.

例1：设方程|x -1|=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.

分析：我们可把这个问题转化为确定函数y =|x -1|与y =k+1图像（图1）交点个数的情况，因函数y =k+1表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出：

①当k<-1时，y 与y 没有交点，这时原方程无解；

②当k=-1时，y 与y 有两个交点，原方程有两个不同的解；

③当-1

④当k=0时，y 与y 有三个交点，原方程不同解的个数有三个；

⑤当k>0时，y 与y 有两个交点，原方程不同解的个数有三个.

二、数形结合的思想

数学的两大元素是数与形，它们彼此关系紧密，常常结合在一起，内容上互相联系，方法上互相渗透，在整个数学中的位置举足轻重.数形结合在数学解题中的应用的广泛性是大家有目共睹的.举例如下：

例1.（2010·全国Ⅰ理科·T15）直线y=1与曲线y=x -|x|+a有四个交点，则a的取值范围是？摇？摇？摇？摇.

【命题立意】本小题主要考查分段函数的图像与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想.

【思路点拨】将函数y=x -|x|+a中的绝对值符号去掉变成两个函数，然后根据自变量x的范围画出相应的图像，根据图像特征确定a的取值范围.

【规范解答】如图2，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x -|x|+a，观图可知，a的取值必须满足a>1 <1，解得1

【答案】1

三、化归与转化的思想

在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题.把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题，再通过问题的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法.化归与转化思想在高中数学解题中经常被应用，更常常于一些高考题中得到显示.比较典型的便是换元法，举例如下：

例3：求y=6x+1+2 的值域.

解：令t= （t≥0）则3x=t +1

所以y=6x+1+2 =2t +2t+3=2（t+ ） +

当t=0时，y有最小值3.

于是y=6x+1+2 的值域为[3，+∞）.

还有数量与图形的转化，因为数量关系转化为图形问题的条件是将数量问题图形化，图形问题转化为数量问题的条件是对图形问题进行量化，所以研究数量问题的图形化与对图形问题进行量化对提高解题能力是相当有必要的.同时在数学解题中若能很好地根据问题的特点和需要，由数思形，以形助数，适时转化，相互作用，就能使解题思维思路开阔，解题敏捷.

《解析几何》的基本思想是转化思想、数形结合的思想、用代数的方法解决几何问题的思想，对称问题贯穿于整个《解析几何》，数形结合更是贯穿于《解析几何》的大多数题目中.

例4：如图3，已知椭圆 + =1（a>b>0）过点（1， ），离心率为 ，左、右焦点分别为F ，F .点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF 和PF 与椭圆的交点分别为A，B和C，D，O为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）设直线PF ，PF 的斜率分别为k ，k .

①证明： - =2；

②问直线l上是否存在点P，使得直线OA，OB，OC，OD

的斜率k ，k ，k ，k 满足k +k +k +k =0？

若存在，则求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，则说明理由.

【思路点拨】（1）根据离心率和已知点构造含有a，b，c的方程组，可求出椭圆的方程.（2）①方法一：将点P的坐标用k ，k 表示出来，再将点P的坐标代入直线l：x+y=2进行化简；方法二：设出点P的坐标，再将k ，k 用点P的坐标表示，并利用点P在直线上进行化简；②利用根与系数的关系将k +k 用k 表示出来，将k +k 用k 表示出来，再由k +k +k +k =0可得关于k ，k 的方程，再联立结论（1）可求出k ，k ，最终可求出点P的坐标.

【规范解答】（1）因为椭圆过点（1， ），e= ，所以 + =1， = .又a =b +c ，所以a= ，b=1，c=1，故所求椭圆方程为 +y =1.

（2）①方法一：由于F （-1，0），F （1，0），PF ，PF 的斜率分别为k ，k ，且点P不在x轴上，因此k ≠0，k ≠0，k =k .

又直线PF ，PF 的方程分别为y=k （x+1），y=k （x-1），联立方程组得

x= y= ，由于在直线上，因此 =2，因此

2k k +3k -k =0， - =2，结论成立.

四、分类讨论的思想

分类讨论广泛存在于中学数学的各类问题中，如果我们以命题的条件和结论的结构为标准，就会发现含参数的问题可分为两种类型：一是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；二是由给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件（如恒成立问题中求参数的取值范围）.

例如：已知函数f（x）=（x-1） +a（lnx-x+1）（其中a∈R，且a为常数），

（Ⅰ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）>0成立，求a的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围.

【解析】（Ⅰ）由f′（x）=2（x-1）+a（ -1）= 知

当a≤2时，∵f′（x）>0对于x∈（1，+∞）恒成立，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）>f（1）=0，此时命题成立.

当a>2时，∵f（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，

当x∈（1， ）时，有f（x）

故a的取值范围是（-∞，2]

（Ⅱ）依题意a∈（-∞，2]，设g（x）=f（x）+a+1，原题即为若g（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求a的取值范围.显然函数g（x）与f（x）的单调性是一致的.

①当a≤0时，因为函数g（x）在区间（0，1）上递减，（1，2]上递增，所以g（x）在（0，2]上的最小值为g（1）=a+1，

由于g（ ）=（ -1） - +1>0，要使g（x）在（0，2]上有且只有一个零点，需满足g（1）=0或g（2）<0，解得a=-1或a<- .

②当a=2时，因为函数g（x）在（0，2]上单调递增，且g（e ）= -2<0，g（2）=2+ln2>0，所以此时g（x）在（0，2]上有且只有一个零点.

③当a

又因为g（1）=a+1>0，所以当x∈（ ，2]时，总有g（x）>0，

∵e <1

所以g（x）在（0， ）上必有零点，又因为g（x）在（0， ）上单调递增，从而当0

综上所述，当0

总之，在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.函数与方程，数形结合，化归与转化，分类讨论都是逻辑方法，也是重要的数学思想，同时也是重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.各种思想在解题中的应用绝不是孤立的，而是相互渗透的.往往一道题用到的数学思想不是唯一的，而是各种思想相互结合的结果.

参考文献：

[1]任志鸿，主编.《赢在高考》.高考总复习一轮用书，2015.