由一道概率考研题引发的思考和探究

孔令仪

摘 要： 由2015全国硕士研究生入学统一考试数学（一）中的第22题，引发了关于求解一类概率题的思考和探究.本文通过举例说明在求解此类问题时，要在准确理解题意的基础上，紧扣相关的基本概念及性质将问题化繁为简，才是解决此类复杂概率问题的捷径，也是切实灵活掌握相关知识的行之有效的方法.

关键词： 概率密度函数 独立同分布 数学期望 几何分布

1.一道概率考研题及其常规解法

为了便于说清问题，先给出这道概率考研题及其常规（常见）解法.

本题的问题1）是概率论的常见题型，方法也是基本固定的，不是本文讨论的重点.问题2）是概率论中一种重要的题型，但对不同的问题，方法多种多样，难易、繁简程度相差很大.就问题2）来说，经查阅相关资料[1]，[2]，发现与上面的解法大同小异，基本相同.此种解法，虽然用到的概率知识仅是数学期望的定义，但求解的过程比较繁琐，用到的解题技巧较多，还要用到求函数项级数的和函数等高等数学知识.如果说再用这种方法求解方差D（Y）的话，计算就会变得更复杂、更繁琐.

2.常规解法的不易引发的时刻和探究

从以上常规的求解方法可看出，此种解法计算量大且较复杂.现在将问题再推广，将“直到第2个大于3的观测值出现时停止”改为“直到第n个大于3的观测值出现时停止”，如果还是用以上的常规解法，计算的复杂性和计算量就会急剧增加，变得非常复杂且困难.这显然不是一种好方……