一类二阶常微分方程组的解

周昀　苏新卫

摘 要： 利用待定系数法，求解一类常系数二阶非齐次常微分方程组的通解，讨论当非齐次项为三角函数与n次多项式的乘积时，方程组的通解.

关键词： 待定系数法 非齐次常微分方程组 三角函数 n次多项式

引言

求解常系数线性微分方程（组）的解在常微分方程课程中是一项重要内容.由线性非齐次微分方程（组）解的结构定理可知，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解[1-2].到目前为止，关于常微分方程组解的研究已经取得了丰硕的成果.例如，可以采用初等变换法、消去法、递推公式、矩阵解法等求解一阶线性微分方程组[3-7].在常系数微分方程（组）中，当非齐次项是某种相对较特殊的形式时，我们可以用待定系数法求出非齐次微分方程（组）的一个特解.文献[8]给出了非齐次项为n次多项式的通解，文献[9]给出了非齐次项为二次多项式与三角函数乘积的通解.本文中，我们将给出非齐次项为n次多项式与三角函数乘积时的通解.

1.主要结果

2.方程组的通解

2.1齐次方程组的通解

2.2非齐次方程组的通解

结语

本文用待定系数法求解非齐次线性微分方程组的通解，将文献的结论进行了进一步的推广，将二次多项式推广到了任意次多项式.由算例看到，随着多项式次数的提高，运算会越加繁琐.因此，如果工程中遇到此类问题时，可以通过编程实现求解，使得其运用范围更加广泛.

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]丁同仁，李承志.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]宋燕.常系数齐次线性微分方程组的初等变换解法[J].辽宁师范大学学报（自然科学版），1995，18（1）：76-81.

[4]汤光宋.对用消去法解常系数线性方程组的注记[J].抚州师范学报，1994（3）：17-21.

[5]戴中林.常见线性齐次微分方程组的递推公式解法[J].四川师范学院学报（自然科学版），1995，16（2）：158-160.

[6]曹玉平.一阶线性常系数微分方程组的矩阵解法[J].河北理工学院学报，2004，26（1）：104-107.

[7]唐烁.常系数线性非齐次微分方程组的初等解法[J].安徽教育学院学报，2005，23（6）：15-17.

[8]朱艳玲.一类二阶常微分方程组通解形式的讨论[J].菏泽学院学报，2009，31（5）：45-46&57.

[9]吴幼明，孔碧洁.一类二阶常微分方程组特解形式的探讨[J].四川理工学院学报（自然科学版），2007，20（1）：20-25.

基金项目：中国矿业大学（北京）大学生科研创新项目（项目编号：C201507003）；中国矿业大学（北京）课程建设项目（项目编号：K150702）.